复合函数求导和偏导的区别？

Question

如题所述

Answer 1

复合函数求导，用的是链式法则，
若y=f(x), x=g(t), t=h(v)，则y对t的导数：dy/dt=dy/dx·dx/dt
y对v的导数：dy/dv=dy/dx·dx/dt·dt/dv

求偏导是多元函数的内容，
例如函数u(x,y)，若x(t, v)，y(t, v)，则u对x偏导：partial u/partial x(partial就是偏，把y作常数）
u对y偏导：partial u/partial y
但u对v，t 的偏导又不一样了，原因是x，y里都有v，t。这时也要用到链式法则：
u对v偏导：partial u/partial x·partial x/partial v+partial u/partial y· partial y/partial v
也就是说v变化了，然后x，y也跟着v变，x，y变化又影响到u，所以u也受到影响，耐不住寂寞，u就变了；u对t求偏导的解释一样。

注意：u(x,y)，x(t, v)，y(t, v)，有5个变量，u、x、y、v、t，3个方程，所以，只能确定3个函数

下面再来看另一种简单而又复杂的情况：
u(x, y)，y(x)，
首先介绍个全导数的概念：全导数就是说，如果一个多元函数“最终”的变化量只受到一个自变量影响，如同上式（u仅受x影响），我们就把这个自变量单位变化量所引起的多元函数的变化量叫做这个多元函数的全导数，上式的全导数记作“du/dx "，其值为
du/dx=partial u/partial x+partial u/partial y· dy/dx；（注意写法，y是x的单变量函数，所以没有偏导）
而若求u对x,y的偏导，则分别为：
u对x偏导：partial u/partial x
u对y偏导：partial u/partial y

如果由另一种形式给出，即：u(x, y)，y(t)，x(t)，此时u仅受t影响，
那么du/dx=partial u/partial x·dx/dt+partial u/partial y· dy/dt

Answer 2

这个问题难以言简意赅，首先你必需知道初等函数，因为初等函数的求导都可以用定义求出，而后成为公式，其它的函数是由初等函数复合成的，必需看成初等函数才能用公式，从外到内对每个“初等”函数用公式，最后结果相乘。至于为什么相乘你把求导符号看成两个商，引入中间函数就一目了然了。总之，只有初等函数才能直接用求导公式，复合函数没有公式。这是区别！本回答被提问者采纳

Answer 3

求导是将x，y都看作变量，而偏导是将x或y中的一个看做变量，另一个当做常量

Answer 4

偏导数：对谁偏导把谁看成未知数，其他量看成常数然后就将求偏导转化为求导了。
隐函数求导：记住y是x的一个函数在对y求导时变成了复合函数的导数，先对y求导再乘于y‘；或者转化为y的偏导除于x的偏导再取相反数。
在判断可微时常用偏导，即针对多元函数，在判断单调性，求最值极值时常用求导（包括隐函数求导），即针对一元函数。