定积分这题怎么做，求大神解答

Question

如题所述

Answer 1

为了计算这个定积分，我们可以使用一些基本的积分技巧。首先，我们有一个开方函数，它的被积函数是一个关于x的二次函数。为了求解这个积分，我们可以尝试将二次函数进行配方法变换，将其转化为更容易处理的形式。
给定：
∫[0, 10] √(10x - x^2) dx
我们可以将二次项配方：
10x - x^2 = x(10 - x) = 1 * (x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x)。
接下来，我们为-(x^2 - 10x)配方:
-(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25。
现在，我们可以将原来的积分重写为：
∫[0, 10] √(-(x - 5)^2 + 25) dx。
接下来，我们可以使用代数技巧，通过一个简单的变量代换求解积分。我们可以令：
u = x - 5。
因此，du/dx = 1，所以 dx = du。当x = 0时，u = -5；当x = 10时，u = 5。
现在，我们可以将原积分重写为：
∫[-5, 5] √(25 - u^2) du。
这是一个关于u的半圆形的积分。我们可以利用半圆的面积公式求解积分：
A = (1/2)πr^2，
其中r为半圆的半径。在这个例子中，r = 5，因此半圆的面积为：
A = (1/2)π(5^2) = (25/2)π。
所以，原积分的解为：
∫[0, 10] √(10x - x^2) dx = (25/2)π。

Answer 2

被积函数是圆心在（5，0），半径为 5 的上半圆，
所求积分等于半圆的面积，
因此=25π/2

Answer 3

10x-x^2=25-(x-5)^2
取x-5=5sint，其中t从-pi/2到pi/2
则dx = d(5sint+5)=5costdt
带入得到原式=∫根号(5^2-5^2(sint)^2) *5cost dt
=∫5cost *5cost dt
=25/2∫(1+cos2t)dt
=25t/2 -25/4 sin2t |(-pi/2, pi/2)
=25pi/2