一个矩阵乘以它的逆矩阵等于什么？

Question

如题所述

Answer 1

一个矩阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵。
设矩阵A的逆矩阵为A^-1，根据矩阵的乘法定义，矩阵A乘以它的逆矩阵为：A*A^-1。
使用矩阵乘法的计算规则，我们可以展开这个乘法计算：
A*A^-1=（A*A^-1）*I
其中，I表示单位矩阵，单位矩阵的定义是主对角线上的元素都为1，其它元素都为0。
继续展开上式：
（A*A^-1）*I=A*（A^-1*I）
根据单位矩阵的性质，I乘以任何矩阵都等于那个矩阵本身，即I*X=X，所以（A^-1*I）可以简化为A^-1，即：
A*（A^-1*I）=A*A^-1
最终得到：
A*A^-1=I
这就意味着，矩阵A乘以它的逆矩阵等于单位矩阵I。
这个结论在线性代数中具有重要的意义。逆矩阵表示一个矩阵在某种运算下的“逆”，通过乘以逆矩阵，可以得到结果与原矩阵相互抵消的结果，即回到了原来的状态。而单位矩阵则是矩阵乘法中的“中性元素”，它在乘法运算中不改变任何矩阵的性质。因此，矩阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵的结果反映了矩阵的可逆性和逆矩阵的定义。