二元函数求极值为极大值的判别
在微积分中，我们经常需要求出一个二元函数的极值。其中，极值分为极大值和极小值。本文将重点讨论如何判断一个二元函数的极值是极大值。
一阶条件
对于一个函数f(x,y)，如果其在点(x0,y0)处取得了极值，那么它在那个点的一阶偏导数为0。也就是说，满足下式：
?f/?x(x0,y0)=0，?f/?y(x0,y0)=0
这就是二元函数求极值的一阶条件。如果一个函数在某个点满足一阶条件，那么它可能是极值点。
二阶条件
但是仅有一阶条件还不足以判定极值是极大值还是极小值。我们需要二阶条件来进一步判断。
对于二元函数f(x,y)，它在点(x0,y0)处的二阶偏导数为：
fxx(x0,y0)，fxy(x0,y0)
fxy(x0,y0)，fyy(x0,y0)
其中，fxx表示f对x求二阶偏导数，fxy表示f对x和y求一阶偏导数。
那么，如果f在点(x0,y0)处取得极值，且
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)?fxy(x0,y0)20，
那么就有一个二阶条件成立，f在这个点的极值是极大值。
举例说明
现在，我们通过一个实例来说明如何用二阶条件判定极值的类型。
考虑函数f(x,y)=x3+y3?3xy+3。首先，我们用一阶条件求出可能的极值点：
?f/?x=3x2?3y=0
?f/?y=3y2?3x=0
解方程得到两个可能的极值点：(1,1)和(?1，?1)。
现在，我们要用二阶条件来判定这两个点上f的极值的类型。我们需要求出f在这两个点处的二阶偏导数。
fxx(x,y)=6x，fxy(x,y)=?3，fyy(x,y)=6y
在点(1,1)处，二阶条件成立的条件为：
fxx(1,1)fyy(1,1)?fxy(1,1)20
66?(?3)2=330
因此，f在点(1,1)处的极值是极大值。
在点(?1，?1)处，二阶条件成立的条件为：
fxx(?1,?1)fyy(?1,?1)?fxy(?1,?1)20
(?6)(?6)?(?3)20
因此，f在点(?1，?1)处的极值是极小值。
小结
在求解二元函数的极值问题中，我们需要两个步骤：第一步是用一阶条件求出可能的极值点;第二步是用二阶条件判定这些点上函数的极值类型。如果二阶条件成立，则该点上的极值是极大值。否则，该点上的极值就是极小值。