如果A=PDQ，其中D=diag{I_r,0_{n-r}}，那么rank(A)=r
既然A是可逆的，rank(A)=n，所以D只有I_n一个对角块，也就是单位阵。
任一A矩阵都可化为等价标准形即存在可逆矩阵P，Q 使得 PAQ =Er 00 0
当A可逆时，等式左边行列式 = |P||A||Q| ≠ 0
所以右边的标准形一定没有0行，即r=n
即有PAQ = E
所以可逆矩阵一定能化为同阶单位矩阵E左乘换行
右乘换列是：
用初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A实施一次相应的初等行变换。
用初等矩阵右乘矩阵A，相当于对A实施一次相应的列等行变换。
扩展资料：
首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。
例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。
若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。
参考资料来源：百度百科-逆矩阵