设将等比级数的各项同以公比乘，就得到一个新的等比级数？

Question

设a、b为几何级数的首末两项，q为公比，s为各项和，证明
s(q-1)=bq-a

Answer 1

首先，我们明确等比级数的定义和求和公式。
等比级数定义为：a,aq,aq2,aq3,…，其中a是首项，q是公比。
等比级数的求和公式（当∣q∣<1时）为：
S=1−qa(1−qn)
其中n是项数。
现在，我们考虑将等比级数的各项同以公比q乘，得到的新等比级数为：
aq,aq2,aq3,…
其首项为aq，公比仍为q。
对于新的等比级数，其和（当∣q∣<1时）为：
S′=1−qaq(1−qn)
但题目要求证明的是s(q−1)=bq−a，其中b是原等比级数的末项，即b=aqn−1。
现在，我们考虑原等比级数的和S：
S=1−qa(1−qn)
两边同时乘以(q−1)，得到：
S(q−1)=1−qa(1−qn)×(q−1)
=a(qn−1)
由于b=aqn−1，我们有：
bq−a=aqn−1×q−a=aqn−a
对比上述两式，我们得到：
S(q−1)=bq−a
因此，我们证明了当等比级数的各项同以公比乘时，得到的新等比级数的和与原等比级数的和满足s(q−1)=bq−a的关系。