金融世界中，探索的脚步从未停歇。在金融衍生物的定价模型中，Black-Scholes-Model（BS Model）犹如灯塔，照亮了股票和固定收益领域的定价之路。它假设标的物遵循几何布朗运动，drift项囊括无风险利率、股息和调整因素，通过隐含波动率的校准，为欧式衍生品提供了closed-form解。在固定收益市场，BS模型不仅用于普适期权（plain vanilla）定价，还对复杂的结构产品，如cap/floor和swaption的定价大有裨益。
然而，对于复杂期权定价，Heston模型 (Stochastic Volatility Model) 突破了局限，引入了随机波动率，模型参数通过市场期权的calibration精确捕捉。复杂数积分不再是价格分布特征函数的唯一表述，Attari的简化让单积分成为可能，使得计算更为高效。
Local-Volatility-Model (LV Model) 则是创新的突破，它以波动率函数替代BS模型中的恒定波动率，确保奇异期权价格的一致性。Dupire公式描绘了local volatility，对波动率表面的平滑度有着严格要求，SABR模型的引入则进一步优化了模型，通过calibration提取隐含波动率，为衍生物定价提供了多样化的手段，如蒙特卡洛模拟（MC Simulation）或有限差分法（FD Method）。
接着，我们来到Hull-White-Model (Affine Interest Rate Model) 的世界，它为利率结构的拟合提供了一种封闭解析解。无论是1-或2-factor模型，Hull-White都聚焦于短期利率（short rate）的演化。通过与市场实际利率结构的契合，它能准确地定价零息债券，零息债券价格的决定因素在于discount factor和模型参数函数的巧妙结合。
在Hull-White的框架下，Call和Put期权的价格不再是抽象概念，而是模型的直接输出。Caps和Floor可以通过零息债券期权的转换来理解，而cap的价格由此揭示。市场cap价格的校准成为关键，κ和σ参数通过最小二乘法找到最佳匹配。尽管模型抽象，但实践中的应用精妙且实用。如果你在理解中遇到任何问题，欢迎交流讨论，我的联系方式在微信小号：cadlag。