x趋于0时，(a^x-1)/x的极限

Question

如图，为什么最后为ln a

Answer 1

具体回答如下：

原式=lim(x->0)[(a^x-1)/x]

=lim(x->0)(a^xlina) （应用罗必达法则）

=lna

极限的意义：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

变量替换法@ 令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0
然后,x=loga(1+t),（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且x趋于0变成是t趋于0的极限，当变量替换后，t/loga(1+t)=1/[loga(1+t)^（1/t）],因为重要极限当t趋近0时，(1+t)^（1/t）趋近于e,所以 原式＝1/logae(以a为底e的对数)＝lna

Answer 3

解最后一步用了个换底公式，以a为底的loga(1+t)换成以e为底就是ln(1+t)/ln(a)，然后代入原公式里再根据洛必达法则分子分母取导，只剩（1+t）*ln(a)，t趋近于0，于是就是ln(a)。

Answer 4

令a＾x-1=t,x=loga(1+t)
x->0,t->0,
lim（x->0）(a＾x-1)/x =
lim （t->0）(t/loga(1+t))
上下约t,lim(t->0)1/(1/t*(loga(1+t)))
等于1/loga(1+t)＾(1/t)
高等数学里的"两个重要极限"
lim（x->0）(1+t)＾(1/t)=e
所以可知
上式等于1/logae=lna

Answer 5

都是神仙..没有那么麻烦..对数运算法则loga(M^n)=nlogaM，t/loga（1+t）=log（1+t）*1/t=log（1+t）^(1/t)，代入重要法则（1+x）^（1/x）=e，得1/loga（e），对数换底公式得lna/lne，lne=1，得lna