近世代数 两题都要哦

Question

如题所述

Answer 1

这两个题目用定义来做就好.
1.除环与域的差别在于除环不要求乘法满足交换律。
除环的中心是除环,又中心是交换环,因此除环的中心是域.
2.除环中的任何非0元素均有唯一的可逆元.因此只要证明这个即可.
由于其有单位,因此对任意非零元b,
方程bx=b，xb=b在其中均有解.(x=1就是一个解)
我们要证明这样的解x唯一.下面证明bx=b(xb=b的证明是相似的):
否则存在y异于x,满足by=b
则有b(x-y)=0.由于其无零因子且b非0,则只能得出y-x=0，矛盾.因此解是唯一的.
那么好办了,由于是有限环则一定存在正整数m>n,m-n=t,满足:
b^m=b^n
b^n*b^t=b^n
由解的唯一性得出b^t=1.
这表明b^(t-1)*b=b*b^(t-1)=1.即bx=1,xb=1在其中有解.可见其解是唯一的(用上面的方法论证即可).因此存在唯一的逆元b^(-1)=b^(t-1).由b的任意性知其为除环.