arcsin的泰勒公式展开式:arcsinx=∑(n=1~∞)[(2n)!]x^(2n+1)/[4^n(n!)^2(2n+1)]。
其推导方法如下:
设f(x)=arcsinx,f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=0,f'''(0)=1,f(x)=arcsinx在x=0点展开的三阶泰勒公式为:
arcsinx=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/6)f'''(0)x^3+o(x^4),代入以上数值可得到最终结果。
泰勒公式的余项
泰勒公式的余项有两类:一类是定性的皮亚诺余项,另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同,但是作用不同。
一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值)。
几何意义
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数,由于多项式函数可以任意次求导,易于计算,且便于求解极值或者判断函数的性质,因此可以通过泰勒公式获取函数的信息,同时,对于这种近似,必须提供误差分析,来提供近似的可靠性。
高等数学中的应用
在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用,简单归纳如下:
(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。
(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。
(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。
(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。
(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。