积分、微分、导数、极限和偏导的几何意义 还有他们之间的联系与区别...

Question

如题所述

Answer 1

1. 一元函数的可导与可微在本质上没有区别，两者都是描述函数在某一点处局部性质的不同表述。可导性关注的是函数图像的切线斜率，即导数；可微性则强调函数在某一点附近可以无限逼近其切线，即存在极限。dx和dy是微分的表示，而dy/dx是导数的表示。导数和微分是等价的，都表示函数在某一点处的变化率。不可导则意味着函数在该点处的变化率不连续或不存在。
2. 在多元函数中，引入了偏导数（Partial Differentiation）的概念，这是因为多元函数对某一变量的变化可能与其他变量的变化有关。偏导数关注的是函数沿某一坐标轴方向的变化率。此外，还有全导数（Total Differentiation）和全微分（Total Differential）的概念，它们关注的是函数在任意方向上的变化率。方向导数（Directional Differentiation）则关注的是函数沿特定方向的变化率。在一元函数中，这些概念并不适用。
3. 对于多元函数，偏导数可以看作是全导数的特殊情况，全导数包含了偏导数的全部信息。梯度（Gradient）是一个向量，其各分量是函数对各变量的偏导数，它表示函数在空间中的上升方向。在英语中，全导数被称为Total Differentiator，而在中文中，我们通常使用全微分来描述这一概念，两者意义相同。
4. dx、dy、du都是微分的表示，它们在多元函数中分别对应于对x、y、u的偏微分。当du表示为du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时，它被称为全微分，而dx和dy则被视为偏微分。在多元函数中，∂f、∂x、∂y仍然是微分的概念，只是它们的表示方式有所不同。∂f/∂x和∂f/∂y分别是f对x和y的偏导数，它们表示x和y单独变化时f的变化率。当x和y同时变化时，f的变化率则由全微分du表示。总的来说，一元函数的可导与可微没有本质区别，而多元函数的可微性要求更高，需要在每个方向上都可以偏导。