已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0) 设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2

Question

(1) 如果 a=2 且x1<2<x2<4 ，求实数b的取值范围
（2）如果0<x1<2 ，|x2-x1|<2 ，求实数b的取值范围

Answer 1

f(x) = 2x^2 + bx + 1 = x,

2x^2 + (b-1)x + 1 = 0.

(b-1)^2 - 8 > 0,

(b-1)^2 > 2*2^(1/2)

b > 1 + 2^(3/2)
或
b < 1 - 2^(3/2).

设g(x) = f(x) - x = 2x^2 + (b-1)x + 1
曲线g(x)是开口向上的抛物线。

(1)

g(x1) = 0 > g(2) < 0 = g(x2) < g(4)
8 + 2(b-1) + 1< 0 < 32 + 4(b-1) + 1.

b < -7/2, b > -29/4

-29/4 < b < -7/2. b > 1 + 2^(3/2)或b < 1 - 2^(3/2).

综合，有
-29/4 < b < -7/2

（2）
|x2 - x1| < 2,
4 > (x2 - x1)^2 = (x2 + x1)^2 - 4x2x1 = (b/2)^2 - 4(1/2) = b^2/4 - 2,

b^2 < 24

|b| < 2*6^(1/2)

-2*6^(1/2) < b < 2*6^(1/2).

-2 < x2 - x1 < 2,

-2 = 0 - 2 < x1 - 2 < x2 < x1 + 2 < 2 + 2 = 4
-2 < 0 < x1 < 2 < 4.

0 < g(-2) = 8 -2(b-1) + 1 = 11 - 2b,b < 11/2

0 < g(4) = 32 + 4(b-1) + 1 = 29 + 4b, b > -29/4
-29/4 < b < 11/2.

又，b > 1 + 2^(3/2)或b < 1 - 2^(3/2).

综合，有
1 + 2^(3/2) < b < 11/2或-29/4 < b < 1 - 2^(3/2)

Answer 2

二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a＞0) 设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2
设g（x）=f（x）-x=ax^2+bx+1-x=ax^2+（b-1）x+1
即g（x）=ax^2+（b-1）x+1
1.
a=2时 ,g(x)=2x^2+（b-1）x+1
因为x1＜2＜x2＜4
所以g(2)=2*2^2+2（b-1）+1＜0，且g(4)=2*4^2+4（b-1）+1＞0
解得b＜-7/2，b＞-39/4
即-29/4＜b＜-7/2

2.
如果0＜x1＜2
因为g(0)=1＞0
所以g(2)=a*2^2+2（b-1）+1＜0，
4a+2b-1＜0
即0＜4a＜1-2b
b＞1/2

又|x2-x1|＜2
所以|x2-x1|²＜4
(x2+x1)²-4x1x2＜4
即[-(b-1)/a]²-4*1/a＜4
所以（b-1）²＜4a²+4a

由4a＜1-2b，得
2a＜1/2-b
4a²＜（1/2-b）²
所以4a²+4a＜（1/2-b）²+1-2b

所以（b-1）²＜4a²+4a＜（1/2-b）²+1-2b
即（b-1）²＜（1/2-b）²+1-2b
解得b＜1/4

【注：第二问，我没能解出；楼上貌似将（1）中的a=2作为（2）的条件，不应该吧？还是静待高人来吧！】

Answer 3

已知二次函数f(x)=ax²+bx+1(a,b∈R，且a>0),设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2。
　　（1）如果x1<2<x2<4，且函数f(x)的对称轴x=x0，求证：x0>-1;
(2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围。　　
解：（1）f(x)=x，即g(x)=f(x)-x=ax²+bx+1-x=ax²+(b-1)x+1=0(a b属于R a>0)
题设方程ax²+(b-1)x+1=0两根为x1和x2,
　　由x1<2<x2<4
　　只需g(x)中△=(b-1)²-4a>0
且g(2)<0,g(4)>0
即
　　g(2)=4a+2b-1<0......(1)
　　g(4)=16a+4b-3>0....(2)
(1)×3得:12a+6b-3<0,
(2)×(-1)得:-16a-4b+3<0
两式相加得:-4a+2b<0,
　　所以b/2a<1,
∴函数f(x)的对称轴为x=x0=-b/2a>-1
得证

(2)方程ax²+(b-1)x+1=0两根为x1和x2
　　则△=(b-1)²-4a>0，
　　且
　　x1+x2=(1-b)/a......①
　　x1x2=1/a .............②
　　由|x1|<2,得-2<x1<2
由|x2-x1|=2,得x2-x1=±2
　　有x1x2>1/2
　　∴0<a=1/x1x2<2

所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=4 .......(*)
把①、②代入(*)式
得(b-1)²=4a²+4a=4a(a+1)<24。对于a>0恒成立
得1-2√6<b<1+2√6且b≠1
∴b的取值范围：(1-2√6,1)∪(1,1+2√6)