数学卷3.24（16）：已知下列数列{an}的前n项和的公式Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=n²×an（n≥2）

Question

求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

题目不全，没有给出a1，原题应该有的吧。只好按你写的来解了：
n≥2时，

an=Sn-S(n-1)=n²·an-(n-1)²·a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²·a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²·a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
a1=0时，{an}是各项均为0的常数数列，an=0
a1≠0时，
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)....[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]
a1=0时，an=2a1/[n(n+1)]=0，同样满足表达式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2a1/[n(n+1)]追问

题目中是有a1的，a1=1.请您再按照这个条件算一下吧。谢谢。

追答

就说应该给出a1的值的。

解：
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=n²·an-(n-1)²·a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²·a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²·a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)....[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2×1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)]
数列{an}的通项公式为an=2a1/[n(n+1)]