第1个回答 2009-02-12
§2.3 运用公式法
一、教学目标
1． 经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
2． 会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。
二、教学重难点
用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
(1) 观察多项式x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？
（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。）
(2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。）
2.探索交流，概括概念
讨论：
（1）多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此。
（2）逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,
可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
所以我们可以借助乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2= (a+b)(a-b)
3.巩固应用，拓展研究
例1 把下列各式分解因式：
（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么）
提问：a2-b2= (a+b)(a-b) 中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
例2 把下列各式分解因式：
(1) 9(m+n)2-(m-n)2; (2) 2x3-8x;
解 (1)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。）
(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止。）
4.应用加强，课内深化
1 把下列各式分解因式：
（此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P22第8题）
2 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
（此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P22第8题）
5.练习巩固，促进迁移
（1）把下列各式分解因式
① -(x+y)2+z2 (让学生比较（x+y+z）(z-x-y)与-(x+y+z)(x+y-z)是否相等)
② 9（a+b）2-4（a-b）2 ③m4-16m4
（2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高h都是18米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨．求四根立柱的总重量．(π取3.14，结果保留两个有效数字)．
（此题改编自励耘精品系列丛书《初中期末复习精讲精练》北师大版八年级（下）P12第20题）
解：设四根立柱总重量为w吨，则
=7.8π(D+d)(D-d)h
=7.8×3.14×1.4×0.6×18=3.7×102(吨)．
答：四根立柱总重量约3.7×102吨．
6.回顾联系，形成结构
想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
参见励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P21－P23
第二课时
1.创设情景，导出问题
把乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2
上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
2.探索交流，解决问题
答案：a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因为(a+b)2是因式的乘积的形式，(a-b)2也是因式的乘积的形式。
形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子称为完全平方式。
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来吧某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
3.练习巩固，促进迁移
1把下列各式分解因式：
(1) x2+14x+49; (2) (m+m)2-6(m+n)+9
(3) 3ax2+6axy+3ay2; (4)-x2-4y2+4xy
答案：
(1) x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2
(2) (m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2
(3) 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
(4) -x2-4y2+4xy=-(x-2y)2
（引导学生对照完全平方公式，确定公式中的a ，b在此例中分别是什么。）
2把下列各式分解因式：
（引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式，然后在进一步分解。）
4. 课内深化，提升能力
（1）若16x2+24xy+ny2是一个完全平方式，求n的值。
（此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P23第6题）
（2）求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
（3）已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。
（此题改编自励耘精品系列丛书《初中期末复习精讲精练》北师大版八年级（下）P10第3题）
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0 ∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0 ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴这个三角形是等边三角形.
（4）设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。
（5）分解因式：
（6）分解因式：
（5、6题改编自励耘精品系列丛书《无敌中考》P5例2）
5.回顾联系，形成结构
想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）