多元函数的偏导数连续是可微分的充分不必要条件吗?

Question

如题所述

Answer 1

多元函数的偏导数连续是可微分的充分条件，但不是必要条件。

具体来说，如果一个多元函数f(x,y)的偏导数∂x∂f和∂y∂f在某点(x0,y0)的某个领域内连续，且f(x,y)在(x0,y0)处可微分，那么可以得出结论，偏导数连续是可微分的充分条件。

但是反过来，如果f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，且偏导数连续，不一定说明f(x,y)在(x0,y0)处可微分。一个著名的反例是f(x,y)=xyx2+y2x2−y2，在(0,0)处偏导数都存在且连续，但f(x,y)在 (0,0) 处不可微分。

综上所述，偏导数连续是可微分的充分条件，但不是必要条件，需要具体问题具体分析。

Answer 2

多元函数性质之间的关系问题多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强 的性质，即可微必然可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。反之偏导数存在与连续之间是不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；偏导数都存在多元函数也可以不连续。偏导数连续强于函数可微分，是可微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。其中可微分的定义是：以二元函数为例（n元类似） 扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。