怎样求一个数列的公比？

Question

如题所述

Answer 1

在数列中，如果一个项与它的前一项的比值保持不变，那么这个比值就被称为公比。对于数列 Sn，如果 Sn+1/Sn 的值保持不变，那么它可以被认为是数列的公比。
推导 Sn+1/Sn 的公比的方法如下：
设数列 Sn 的通项公式为 An，即 Sn = A1 + A2 + A3 + ... + An。
那么 Sn+1 = A1 + A2 + A3 + ... + An + An+1。
我们可以求解 Sn+1/Sn 的值：
Sn+1/Sn = (A1 + A2 + A3 + ... + An + An+1) / (A1 + A2 + A3 + ... + An)
根据通项公式 An，我们可以将 Sn+1/Sn 进一步展开：
Sn+1/Sn = (A1 + A2 + A3 + ... + An + An+1) / (A1 + A2 + A3 + ... + An)
= (A1/A1 + A2/A1 + A3/A1 + ... + An/A1 + An+1/A1) / 1
由于 A1/A1 = 1，我们可以将公式简化为：
Sn+1/Sn = (A2/A1 + A3/A1 + ... + An/A1 + An+1/A1) / 1
= A2/A1 + A3/A1 + ... + An/A1 + An+1/A1
因此，Sn+1/Sn 的值可以表示为数列中每一项与第一项的比值之和。
如果这个比值之和保持不变，即 Sn+1/Sn = r（常数），那么我们可以说数列的公比为 r。
注意：上述推导是基于假设数列 Sn 的通项公式 An 已知的前提下进行的。在实际问题中，可能需要通过观察数列的规律或使用其他方法来确定公比。