微分在近似计算中的应用

Question

如题所述

Answer 1

微分在近似计算中的应用，回答如下

一、应用的两个实例。例 1、一块正方形金属薄片受温度变化影响时,其边长由 x 变到 x + x , 问金属薄片的面积改变了多少? A (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 A 2x0x A(x0 )x 。例2、求自由落体由时刻t 到 t t 所经过的路程的近似值。 s gtt 1 (t)2 s gtt s(t)t 2 2 二、微分的概念 y y=f(x) 

微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 [6]  可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

二、切线微分：当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

以y=x2 为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。