现代社会生活中，人们的生存环境不断更变，可获取的信息在迅速增加，人们从事工作、学习和看待处理问题的方式也在发生巨大变化。家庭计算机的普及和人们对计算机、网络的依赖，使得学生数学学习方式必然随之转变。探索学生能主动参与的并能获取切实体验的学习方式是十分必要也是非常迫切的。
近年来，以计算机多媒体和网络技术为基础的现代信息技术的迅速发展对传统的教学模式产生了巨大的冲击。CAI（Computer Assisted Instruction计算机辅助教学）、WBI（Web-Based Instruction基于网络的教学）产生了教学理念、教育思想上和教育技术上的重大变革。计算机多媒体技术为呈现数学知识提供了多种可能，支持学生通过不同的途径与方法研究数学，成为获取数学知识、探索问题、解决问题、培养能力的工具，同时信息技术的掌握与运用成为可持续性学习能力的重要表征。
高中数学教学中一直是注重知识的传授，尽管我们不断地进行着教学内容，方法、手段等方面的改革，教学大纲、学科教学目标中已经将思维训练、能力培养、情感、态度与价值观提高到比知识传授更为重要的地位，信息技术与学科整合受到普遍关注，改变学习方式加强研究性学习成为热点问题，成为二期课改的重要目标，但在实际教学中，知识传授仍被视为主要目标，因为这一目标是显性的，是可以通过教师讲授而达成的，尤其是不加理解的短时记忆，模仿解题是可以用简单的方法实现的，对于能力的培养却没有直接现成的方法和直接可操作的程序。高中学生对数学学习，越来越多地表现出兴趣低下、被动接受、简单模仿、机械记忆等倾向。这种倾向在经过层层筛选的重点中学学生中也有所表现，甚至在一些重点大学数学系，学生也普遍不愿意在规定的课程学习之外，思考或谈论数学问题。数学对于多数从小学到大学的在校学生来说，成为最让人惧怕、无奈的学科。
从教育教学实践上看，研究上注重理论原则，宏观研究多，而微观的、具体的、操作性强的实践方法研究显得较薄弱；基层教师的教学研究多数是围绕教学内容的组织处理、具体解题的方法策略、一些特殊问题的引申与拓展，重视教法研究，而学法却没得到足够的关注，或者说即便是重视，也多数停留在原则性的号召和缺乏实证根据的想象和期待上；如何切实有效地提高学生学习数学的兴趣，提高学习数学的价值认同度，一个非常重要的着眼点就是要从根本上改善学生的学习方式。如何创设一种能使学生主动产生数学问题，观察数学现象，实验探索数学规律的学习环境，构建一种新型的实现学生主动发展并有相当开放程度的学习模式，是我们最为关注的焦点。因此，我们提出建立“数学学习实验室”，使得数学问题的呈现能尽可能结合现实世界的物化现象，贴近学生的实际经验背景，使得学生主动提出数学问题、主动探索实验、发现规律具有更大的可能性。强化学生的实践探索、敢于思考创新的意识，优化学习过程的主动体验和获得感受的心理历程，提高学生数学学习的能力和价值认同度，为学生终身学习奠定基础。
一. 课题研究的目标、内容和主要研究方式
1. 课题研究目标
1) 建立数学学习实验室实体
2) 验证对目前数学教学中主要矛盾的判断
3) 探索实验型数学教学的基本形式
4) 实现学生数学学习方式可检测性的转变
5) 切实有效提高数学教师专业化水平
2.课题研究内容
1) 实验型数学学习的概念界定
2) 学生学习方式的现状分析与研究
3) 构建“数学学习实验室”的框架设计研究
4) 实验型数学教学的一般原则和规律
5) “数学学习实验室”中，教师的角色与任务
6) “数学学习实验室”的运作方式研究
7) “数学实验”的适用范围研究
8) 实验型学习方案设计和配套软件开发
9) 学生学习方式与学习质量变化的跟踪测量与评价
10) 数学学习实验软件平台的比较研究
3. 主要研究方式
该课题研究的基本愿景是，创设能使学生主动产生数学问题的学习环境，提供观察数学现象和通过实验方法探索数学规律的工具平台，构建一种新型的实现学生主动发展的适应学生不同水平差异的并有相当开放程度的学习模式，即在“数学学习实验室”中，学生可以根据教师提供的学习素材和问题，不局限于老师的讲授，可以利用网络、计算机、学习软件等已有的学习资源，按自己的设想进行探索，就如同教师提供了直尺和圆规，学生不再局限于看老师画出的图形，他可以根据合理想象，构造各种几何图形，在做的过程中，对几何图形的特征属性产生直接体验，从而自然主动地产生证实自己想法的愿望。再比如教师提供的课件（如图1）显示了一条固定长的线段AB，此线段可以任意截成AC和CB两段，学生操作改变C点位置，观察以AC和CB两动线段为边长的矩形的面积变化情况（界面即时显示线段长和矩形面积的度量值），发现规律，并进一步将发现的现象进行概括抽象，便可得出一个重要基本不等式，即两正数的算术均值与几何均值的关系。而以上这种以“学生能做数学实验”为基本出发点的教育思想，是否能切实转化为学生的学习行为，关键是教师能否将思想观念转化为研究实践行为。其实作为教学的直接实施者—教师，在明确了要“做什么”的情况下，最关心的是“怎样做”，然后在亲身实践的过程中加深对“为什么这样做”的理解以及“还能怎样做”的研究。因此，我们强调教师在实践中研究，在研究中实践，学生的学习方式必将发生转变并不断得到优化。从基层科研特点和学校对科研成果的形式需求出发，我们力求开发设计大量的可操作有借鉴和应用价值的优秀案例并形成校本教材。
因此实践研究工作的基本方式和流程表示如下：
二. 课题研究过程
课题研究工作大致上分为三个阶段：
第一是准备阶段，对当前学生学习数学的主要困难、学习心向、学习方式的现状进行调查分析与研究，提出主要解决的问题；针对性地进行教师和部分学生的培训；初步制定数学学习实验室的建设方案。
第二阶段是全面开展研究和实践调整阶段，在实践中深入研究数学学习实验的目的、基本形式、实施策略、一般原则以及在改善学习方式上的一些突出效能。
第三阶段是研究总结阶段，主要是将研究过程中形成的认识、设计的方案、制作的实验软件和过程性经验资料，进行提炼和整理。
1. 对学生学习数学的心向、主要困难、方式的现状分析与研究
如前文所述，近年来学生学习数学困难的现象越来越普遍，教与学的矛盾也越突出，长期以来形成的对学生认知规律特征判断的方法经验，受到现实情况的严峻挑战。这在普通高中尤为突出。我们通常认为机械的简单操作是容易被人厌弃的，而富含智力成分的活动会让人喜爱，但事实并非如此。
为了检验我们对学生学习数学的心向、主要困难、学习方式的现状等方面作出的一些判断和假设，在课题研究初期，我们设计了一份调查问卷（见附件1），分别对一所普通中学6个班共253人和一所市示范性（重点）高中1个班51人进行调查，问卷数据统计如下
普通中学调查情况
A B C D 答题人数 选择A 选择B 选择C 选择D
第1题 66 155 25 7 253 26.1% 61.3% 9.9% 2.8%
第2题 3 64 162 24 253 1.2% 25.3% 64.0% 9.5%
第3题 30 164 58 1 253 11.9% 64.8% 22.9% 0.4%
第4题 68 140 45 0 253 26.9% 55.3% 17.8% 0.0%
第5题 32 96 86 39 253 12.6% 37.9% 34.0% 15.4%
第6题 4 66 73 109 252 1.6% 26.2% 29.0% 43.3%
第7题 11 157 44 41 253 4.3% 62.1% 17.4% 16.2%
第8题 173 59 9 12 253 68.4% 23.3% 3.6% 4.7%
第9题 16 29 13 195 253 6.3% 11.5% 5.1% 77.1%
第10题 57 103 16 77 253 22.5% 40.7% 6.3% 30.4%
第11题 26 80 69 78 253 10.3% 31.6% 27.3% 30.8%
第12题 80 91 24 58 253 31.6% 36.0% 9.5% 22.9%
第13题 36 177 17 23 253 14.2% 70.0% 6.7% 9.1%
第14题 24 106 64 58 252 9.5% 42.1% 25.4% 23.0%
第15题 28 37 160 28 253 11.1% 14.6% 63.2% 11.1%
重点中学调查情况
A B C D 答题人数 选择A 选择B 选择C 选择D
第1题 12 15 11 13 51 23.5% 29.4% 21.6% 25.5%
第2题 1 11 37 2 51 2.0% 21.6% 72.5% 3.9%
第3题 21 22 8 0 51 41.2% 43.1% 15.7% 0.0%
第4题 24 20 6 0 50 48.0% 40.0% 12.0% 0.0%
第5题 3 23 14 11 51 5.9% 45.1% 27.5% 21.6%
第6题 4 10 25 10 49 8.2% 20.4% 51.0% 20.4%
第7题 5 24 14 8 51 9.8% 47.1% 27.5% 15.7%
第8题 18 19 9 5 51 35.3% 37.3% 17.6% 9.8%
第9题 0 20 2 29 51 0.0% 39.2% 3.9% 56.9%
第10题 11 18 10 12 51 21.6% 35.3% 19.6% 23.5%
第11题 6 22 12 11 51 11.8% 43.1% 23.5% 21.6%
第12题 5 23 2 21 51 9.8% 45.1% 3.9% 41.2%
第13题 1 34 7 9 51 2.0% 66.7% 13.7% 17.6%
第14题 3 11 15 22 51 5.9% 21.6% 29.4% 43.1%
第15题 1 6 28 16 51 2.0% 11.8% 54.9% 31.4%
根据以上统计数据，我们将每题各选项进行了频数分布分析（各选项的百分比）、部分问题之间的相关性分析、两个样本对应问题的比较分析，结果与我们的预测（经验判断）进行了对比。这里只把与预测有明显差异的结果概括如下（详细分析见《普通高中数学学习主要困难、学习心向、学习方式的调查报告》）
（1）从第1、5题情况看学生多数有一本以上参考用书，课余时间有相当一部分用于数学学习，平均约1.5小时，重点中学比普通中学用时更多，这与我们的判断吻合，但同时也反应重点中学课业负担更重。
（2）从第3、4、8、9、10、12题情况看，对于数学学习的价值认识、学习方式、兴趣、信心等方面，重点中学普遍明显优于普通中学，但对于某些选项诸如对“思考问题”“认真听讲”的重要性选择，还是倾向于“听讲”；对于做课后练习的习惯，多数是“边看书边做练习”或“不看书做练习”，很少有人“先看书再做练习”或“做完练习再看书”；这些都反映出学习的被动性和依赖性倾向。
（3）从两个样本的整体答题情况看，普通中学的答题率高于重点中学，说明普通中学学生更“听话”，更“规矩”，这个细节是值得思考的。
（4）从11题反映，学生对教师的教学方式的期望比较一致，即“老师尽快讲完主要内容，学生当堂练习”，而我们认为学生可能对“老师提出问题，学生自主讨论研究”的期望较高
（5）选择最集中的是13题，希望教师布置作业“部分由老师布置，部分由学生自主选择”；希望“全部由老师布置”的人数，比希望“全部由学生自主选择”的多，且两所学校的情况高度一致，这也是我们没有估计到的。
（6）从14、15题看，学生普遍认为，家用电脑的主要作用是“上网”，对于计算机能否对数学学习起到帮助，几乎处于无知状态。
通过以上的种种分析研究，本课题的研究思路更加开阔，研究目的更加清晰，研究基础也更加坚实。
2.在研究过程中，深入理解“数学学习实验”这一概念的内涵。
开题初期，对于数学实验的概念是很模糊的，我们也查阅了一些相关资料，不同层次的数学教学专家和学者对数学实验有不同的界定。经过为期一年多次的讨论，包括与物理、化学学科教师的一些激烈争论，课题组成员对于开展数学学习实验的目的认识基本达成一致，并认为数学教学中数学实验在实验工具上，应主要借助于计算器、TI图形计算器、计算机和相应的软件等，在实验目的上不应只是辅助教学，应把数学实验作为一种科学研究方法。事实上把数学实验作为一种科学研究方法这种想法方向是正确的，然而以这样的视角看问题，从今天看来，显然不符合该课题的本来目的。尽管对实验的概念、形式、实施方法一直有许多争论，但还是逐渐形成了以下的一些主流认识。
数学实验是一种知识素材形成、发展和应用为任务，利用算具（或空间模型实物）作为实验工具来推演（或模拟）的，并且以一定的数学思想方法作为实验原理的一种实验形式；它必须以某一层面的数学知识素材作为实验对象，在一般意义下的某种运算程序里，以数值计算、符号演算或图形演示等作为实验内容的操作（或心智活动）；达到验证数学命题，广泛开展猜想创新的目的。使学生通过实验来建构数学概念，探求数学规律，发现数学问题，解释数学原理，验证数学结果。
引用中科院院士张景中的观点，数学实验就是动手算一算、画一画、量一量，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新，使得所学的知识真正地转化自身的知识结构。
学习、实践、碰撞、反思使得课题研究逐步深入。现在的统一认识是，本课题中的“实验”概念，之所以将其描述为“数学学习实验”，是因为我们研究的目标和解决的问题是数学学习方式的优化，而不是“数学学习实验”概念本身。作为一种行为模式，在研究实践中其内涵和外延得以丰富和清晰化。针对学生学习数学普遍感到困难、兴趣低下的实际情况，尽可能采用“实验”手段，让数学的呈现形式真实可感，让数学离他们近一些，从而引发他们思考问题、尝试解决问题的自然愿望。因此我们课题中的“数学学习实验”有别于学术界一般意义上的“数学实验”， 一般意义的数学实验通常没有预先的组织与设计，它随着问题解决的进程自发而生；而数学学习实验通常是一种观察、发现、归纳、抽象的“再建构”过程，需要有计划地安排实验载体，有计划地控制实验进程。从实验目的来看，一般的数学实验是为了解决一定的问题, 是对数学问题的深入研究、拓展，力图有新的发现，关注实验的“本体结果”；而数学学习实验是让学生在“做数学”中“学数学”和“用数学”, 关注用合理的手段有效改善学习；可见数学学习实验的首要功能是辅助数学教与学，使学生在实验中深刻理解数学知识，灵活应用数学方法，提高自主学习数学的愿望和能力，并不要求学生在研究中真正发现数学（尽管确实有可能有新的发现），而是以习得知识、发展能力、提高素养为目的指向。
“数学学习实验”与物理、化学、生物等自然科学实验有本质的区别，首先是目的指向不同，后者的实验对象是具体的物质对象，是对自然的模拟和验证，实验现象即是结论，无须证明；而前者往往没有具体的物质对象，即便有也不是研究主体或终极目标；数学实验是思维过程的模拟和验证，实验现象并不能作为数学结论，而必须通过逻辑的证明；物理、化学实验所得到的结果本身就是学习的目标知识，而“数学学习实验”主要是为了提供一个学生主动参与学习活动的情境，呈现数学知识发生、发展的过程，养成善于从感官现象中抽象出一般规律的习惯和进行数学建模的意识；物理、化学实验必须观察实物运动变化，必须掌握实物工具和器材的运用，而“数学学习实验”则不一定，它基本上是依靠数值计算，图形变化，观察数与形的关系进行的，使用什么样的工具（实物或电脑）并不重要，“动脑”是决定性标志，“动手”不是必要条件。
结合上述研究实践过程中形成的认识，本课题的数学学习实验界定为：以激发学生数学思维活动为目的，经过某种预先的组织、设计，模拟地创设一些利于观察的数学对象和问题情境，促使学生在对实验素材进行数学化操作中产生归纳假设，在分析、修改、验证猜想中形成认知体验，从而实现在建构数学中理解学习数学、解释数学、应用数学的一种探究性教学活动．
3.实践中研究探索“数学学习实验”的基本形式
由于实验的目的、应用的知识和采取的技术手段等不尽相同，因此我们从三个维度对学习实验进行分类。
从实验工具划分，可将数学学习实验分为实物模型实验 和信息技术模拟实验 两类；从实验的实施方法分为动手操作实验 和观察演示实验 ；从实验的目的可分为理解性实验 和探索性实验 。这样我们就把要设计研究的数学学习实验类型用下表表示：
数学研究的对象不是现实世界的实物化对象，而对实物性状规律和属性的表达基本上都能通过信息化手段形象地表达，因此我们重点研究用信息技术模拟的数学实验，主要应用几何画板软件；同时根据学生学习数学的主要困难和普遍的习惯特征，我们又将重点集中在2-2-1型和2-1-1型，当然，如果学生知识基础好，又有良好的兴趣习惯和动手能力，则2-1-2型和2-2-2型实验更富有价值。
理解性实验是让学生通过观察现象与数学自然地建立联系，通过实验验证、检测由已学过的相关知识推导出的结论或做出的一般猜测的正确性，从而深刻理解数学概念、原理为目的。通过理解性实验加强学生自己分析问题、解决问题的自信，或者发现问题解决中的谬误，并分析原因，加以改正。探索性实验是让学生通过观察、测量、计算等活动认识不同水平条件下的数学本质，通过归纳、类比、概括等思维方式发现数学规律，从而达到“建构”数学认知结构目的的数学实验。
4.课题研究始终结合日常教学成为校本教研的主题
该课题的研究主要是落实在实践中，金汇高级中学近年来形成的富有特色的校本教研“三磨”（磨课、磨卷、磨作业）活动，成为课题研究的实践平台。所谓“磨”实质上就是研究，或者说在实践中研究，并以研究的方式开展实践。结合学校的三轮磨课活动，课题研究得到了扎实有效的推进。数学组三轮磨课的主题分别是“用实验方法学数学，促进学生学习方式的转变”、“现代化数学教学基本功的锤炼”、“优化学习方式，突出学生主体”。磨课过程中，我们一次次将案头的思索带进课堂，又一次次从课堂上带回问题进行研磨，这种根植于教学实践而又主题鲜明的课题研究，使教师真切地认识到研究的价值，体验到研究带来的快乐。教师设计的一则则教学方案《函数 图像的合成》、《函数的奇偶性》、《数列的极限》及配套课件，撰写的实践反思总结或案例《学生为什么不喜欢学数学》、《出乎意料》，诸如《数学实验的适用范围》《高中数学学习实验的特征》等论文都直接成为教师的研究成果，而在此过程中出现的疑问和困难又不断地及时讨论并得到课题组骨干教师的帮助，教师培训工作就这样自然而有效地进行。磨课使得研究、培训和教学实践有机整合，使得教师的学习、研究和工作成为一个高效率的联动体系，使得我们的课题有了一块成长发展的沃土。
三．课题研究成果总结
本课题的主要研究成果可以概括为：
（1）教师专业化水平显著提高；
（2）建立了“数学学习实验室”；
（3）对实验教学软件进行了专门的比较研究并编写了教师培训教程；
（4）总结出了用“几何画板”设计数学实验教学的一般模式；
（5）研究总结了实验型教学的普遍原则；
（6）对数学概念的实验型教学进行了深入研究。
1．教师观念得以更新，专业化水平显著提高
如前文所述，在提出该课题以后，围绕普通高中学生学习数学的主要困难是什么？导致这种现象的原因是什么？如何改善我们的教与学？实验型的教学的价值与作用如何？怎样开展实验型教学活动？哪些数学知识需要用实验方法习得？实验型学习过程中学生的学习心理机制有何特征？用那些技术手段实现设计的实验效果？如何检测实验效果？等等问题，展开了广泛的、持续的讨论、研究和实践，在此过程中，每次思想观点的碰撞交锋，都对教师观念的更新起到了有效的催化作用，每次寻找问题的原因和解决的具体办法，又无形中提高了教师的教学技能。显性的成果有，教师围绕课题撰写了大量的实验型学习方案，相应制作大量课件，有8篇论文，一套培训教程，2套问卷和对应的分析报告，多数教师学会使用几何画板。可以说课题研究高效地将学习和教学整合在一起，取得了显著的教、研、训联动效益。
2．对实验型数学教学的软件工具进行了比较研究和合理选择并建立了“数学学习实验室”
在中学数学教学中，可以使用的软件工具主要有几何画板、Z+Z超级画板、Mathmatica MathCAD、Maple、MATLAB等。根据使用范围的普遍性、便利性以及软件功能的全面性、基础性和开放性，几何画板应成为首选。特别提出，由张景中院士研发的超级画板在功能上有较几何画板更全面便捷之处，然而由于面世时间短，不够普及，因此我们仍主要使用几何画板。值得说明的是，由于PPT演示文稿在各科教学以及会议讲座上的广泛应用，数学教师在教学中也普遍使用，若仅仅是用于文稿演示，倒也还可以，但若用于表现说明数学原理则属用法不当，若用于做数学实验则几近荒谬了。因此建议数学教师不要在数学课上使用PPT，事实上，PPT的功能，几何画板几乎完全能实现，而时间效率高得多，相信如果数学教师尝试使用几何画板，一定会提高其应用信息技术的兴趣和热情。为此，课题负责人蒋云鹏多次组织教师专门学习使用几何画板，在培训教师和部分学生的过程中，编写了《几何画板培训教程》。
2007年3月“数学学习实验室”正式启用，至此，数学实验就不再局限于演示实验，学生动手操作型的实验课也有了固定场所，以几何画板为主要设计平台，由教师制作的实验课件以及相关资源通过整理，进入实验室资源库。
3．总结出了用“几何画板”设计数学实验教学的一般模式
我们知道建构主义教学策略的核心是以学生为中心、以学习活动为中心、以学生主动性的知识建构为中心，强调四个基本环节：情境创设、自主探索、协作学习和效果评价。利用“几何画板”进行数学实验教学，可以创设出一种以“问题—实验—交流—猜想—验证”为新模式的数学教学。
利用“几何画板”进行数学实验教学的模式一般主要包括以下七个环节。
（1）课前准备。实验前派发实验报告表，要求学生事前了解实验的目标并预习实验所涉及的知识，学生或教师针对问题，设计一定的实验步骤，提出具体的要求。
（2）创设情境。学生通过形象的感性资料，产生问题意识，形成并提出问题。
（3）活动与实验。通过教师的演示或学生操作，对问题形成直接的初步感知。
（4）讨论与交流。在形象观察获得初步认识后，自然引起讨论与交流。
（5）归纳与猜想。教师合理组织，引导学生概括、归纳、总结，表达自己的猜想，教师对猜想的合理性适时地加以点评。
（6）检验与证明。教师组织以逻辑演绎的形式对猜想加以严格证明，此间教师应尽可能全面观察学生通过以上实验过程对问题本质体验的水平。
（7）完成实验总结。一般有写实验报告和做相应的练习两种形式，实验报告的填写通常可以穿插在实验的各个环节。
以上各环节要根据实验的类型，结合实际情况灵活取舍调整。如2-2-1型，就应突出第（2）（3）（5）环节，第（4）环节可以省略或弱化，如果是2-1-1型，则需特别突出（3）（4）环节，第（6）环节可以作开放性处理，或移到课后。
4．深入研究了实验型教学的普遍原则
启发性原则
启发性是数学教学的灵魂，因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗（R• Courant）在《数学是什么》一书中指出，“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是：逻辑和直观，分析和构造，一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面，然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和崇高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论，或让他们死记公式定理法则。历史上，数学的每一步前进都是以数学家付出的艰难探索为代价的，有些成果甚至是上百年几代数学家心血的积累。今天要在很短的时间里让学生理解它们，不启发他们运用自己的智力认真思考怎么能行？在这个意义上讲，数学教师的责任在于再创造，在于提出深入浅出的问题、设计最佳的教学情景与活动，让学生通过自己的思考去获得知识，历练心智。
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