数值分析试题参考解答(三)

如题所述

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推荐答案 2024-04-07

同步更新于数值分析试题参考解答(3) - 2023年3月3日

一、等腰三角形面积相对误差计算

对于等腰三角形腰长和底边长，其中和为有效数，我们来计算其面积相对误差限。设其真值分别为和，则

三角形面积为
S = 0.5 × a × b

计算相对误差限：
δS/S = |(a - atrue)/(atruel)| + |(b - btrue)/(btrue)|

由题设，δa/a = δb/b，因此
δS/S ≈ 2 * (δa/a)

二、方程的收敛性与实根求解

对于方程，我们证明其迭代格式的收敛性:

构造函数，则，根据不动点迭代收敛定理，当迭代格式满足条件时，序列收敛于方程的根。

应用迭代法求解，初始值为，得到的根为 约等于 。

三、线性方程组求解

用列主元 Gauss 消元法求解线性方程组

通过消元过程，我们得到
u1 = -v1 + v2, u2 = v1, u3 = -v3

最终解为 u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3

四、Jacobi与Gauss-Seidel迭代法

对于方程组，我们分析其迭代格式:

Jacobi迭代矩阵形式为...
若满足，Gauss-Seidel迭代格式保证收敛，因为它具有严格对角占优特性。

五、三次多项式构造

给定条件，构造满足特定条件的三次多项式:

设，则多项式形式为...
解得 多项式为...

六、最佳平方逼近多项式

在区间上，一次最佳平方逼近多项式为:

法方程组解得...
最终逼近多项式为

七、求积公式的精度与复化

八、常微分方程求解

对于初值问题，我们分析求解公式的阶数和误差:

最优参数...
局部截断误差为...

构造的预测-校正公式为...

九、差分格式与近似值

对于定解问题，我们建立显式差分格式:

差分方程为...
取特定值时，近似值为...

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