矩阵相乘对秩的影响是一个非常重要的问题，因为它涉及到线性代数中的基本概念和性质。在回答这个问题之前，我们先来了解一下矩阵的秩以及矩阵相乘的概念。
矩阵的秩是指一个矩阵中行向量或列向量的最大线性无关组所包含的向量个数。换句话说，矩阵的秩就是矩阵中线性无关向量的最大个数。矩阵的秩具有以下性质：
1.一个矩阵的秩等于它的行秩和列秩中的较小值。
2.矩阵的秩不会随着矩阵的行变换或列变换而改变。
3.矩阵的秩可以用于判断一个矩阵是否满秩，即所有行向量或列向量是否线性无关。
4.矩阵的秩可以用于求解线性方程组，例如高斯消元法。
接下来我们来讨论矩阵相乘对秩的影响。设A和B是两个m×n和n×p的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵。根据矩阵乘法的定义，C的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列元素的内积之和。因此，我们可以将矩阵相乘的过程看作是将一个矩阵的行向量与另一个矩阵的列向量进行线性组合的过程。
现在，我们来分析矩阵相乘对秩的影响。假设A和B都是满秩矩阵，即它们的所有行向量和列向量都是线性无关的。那么，C=AB的秩r(C)满足以下条件：
1.r(C)≤min{r(A),r(B)}。这是因为C的每一行都是由A的某一行与B的某一列进行线性组合得到的，所以C的秩不能超过A和B中较小的秩。
2.如果A和B满足某些条件（例如，A的某一行与B的某一列线性相关），那么r(C)可能小于min{r(A),r(B)}。这是因为在这种情况下，C的某些行向量实际上是由A的其他行向量与B的其他列向量进行线性组合得到的，所以C的秩可能小于A和B中较小的秩。