这俩个短语含义相近，很多情况可以互换。此题中的plan明确表明了目的性、计划性、意愿性，所以应用go for a picnic.
首先，go for适用于某人（或某事物），意为：去找某人，想得到…，争取攻击，抨击，喜欢 去(做某事)，去拿(某物)，迷上，与(人或事)有关，对…同样适宜例句：People tried to persuade him to go for a more gradual reform programme.（人们试图说服他采取更为渐进的改革方案。） 而go on 含有继续之意。
然后，表示去做某事时，go for带有可能性、选择性、目的性或要求一定的努力。而go on没有这么多的感情色彩，也含有一定的继续之意，后多接strike（罢工），a diet（节食）， a pilgrimage（去朝圣）
所以，如果是提建议，或要表达“想”时，用go for a picnic比较好，如果没有很多感情色彩，用go on a picnic就可以了。