级数求和

简便方法求：
1/（1+2+3+4）+1/（2+3+4+5）+。。。+1/（100+101+102+103）

是否有像这样等差级数的倒数组成的级数（调和级数）的求和公式，或者求该无穷级数收敛值的公式？
答案应该在0.9804553599248左右。

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推荐答案 2009-05-17

精确解是：
2 5 8 3 6 0 3 1 2 9 7 0 0 5 0 2 6 9 7 5 6 2 8 6 7 5 0 3 0 0 4 5 4 5 6 7 5 8 2 0 4 4 4 6 4 5 9 0 8 2 8 4 9 6 1 6 3 0 3 8 8 3 4 1 7 3 4 7 0 7 7 9 8 0 7 3 0 9 4 5 9 1 5 9 8 7 3 6 ／ 2 6 3 5 1 0 6 1 6 2 7 5 7 2 3 6 4 4 2 4 9 5 8 2 6 3 0 3 0 8 4 6 9 8 4 9 5 5 6 5 5 8 1 1 1 5 5 0 9 0 4 0 8 9 2 4 1 2 8 6 7 3 5 8 7 2 8 3 9 0 7 6 6 0 9 9 0 4 2 1 0 9 8 9 8 3 7 5
＝ 0 ． 9 8 0 4 5 5 0 4 4 3 6 0 3 9 7 3 5 0 7 5 5 5 0 7 3 0 2 1 8 5 9 7 5 2 4 1 6 0 9 6 4 3 2 5 4 3 7 0 1 5 7 0 0 0 3 8 1 6 2 8 7 1 2 9 0 3 6 2 7 7 3 1 9 9 5 2 8 5 1 5 0 2 4 9 7 6 4 ．．．
所以一楼的解法是错误的．
没有必要求精确解．
题目只需考虑后面的内容：求该无穷级数收敛值的公式．
其实该级数不收敛．很容易证明的．
级数级数｛ A n ｝＝｛ 1 ／ 1 0 ， 1 ／ 1 4 ， 1 ／ 1 8 ， 1 ／ 2 2 ， 1 ／ 2 6 ， 1 ／ 3 0 ， 1 ／ 3 4 ， 1 ／ 3 8 ， 1 ／ 4 2 ， 1 ／ 4 6 ， 1 ／ 5 0 ， 1 ／ 5 4 ， 1 ／ 5 8 ， 1 ／ 6 2 ， 1 ／ 6 6 ， 1 ／ 7 0 ， 1 ／ 7 4 ， 1 ／ 7 8 ， 1 ／ 8 2 ， 1 ／ 8 6 ，．．．｝
｛ A n ｝的通项公式为 A n ＝ 1 ／（ 4 n ＋ 6 ）
从｛ A n ｝中提取公因数 4 得新的数列｛ B n ｝，通项公式为 B n ＝ 1 ／（ n ＋ 3 ／ 2 ），
再设两个新的级数｛ C n ｝，通项公式为 C n ＝ 1 ／（ n ＋ 1 ），
｛ D n ｝，通项公式为 D n ＝ 1 ／（ n ＋ 2 ），
于是 A n 的前 n 项和为 ∑ A n ＝ 4 ∑ B n ，
∑ D n ＜ ∑ B n ＜ ∑ C n
∑ D n 和 ∑ C n 没有简单的求和公式，
但是当 n → ＋ ∞ 时，
∑ D n ＝㏑ n ＋ γ － 1 － 1 ／ 2 ，
∑ C n ＝㏑ n ＋ γ － 1 ，
于是当 n 较大时， B n 在㏑ n ＋ γ － 1 ． 5 和㏑ n ＋ γ － 1 之间，其中 γ 为欧拉常数，是无理数，一百位有效数字为 0 ． 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 0 1 5 3 2 8 6 0 6 0 6 5 1 2 0 9 0 0 8 2 4 0 2 4 3 1 0 4 2 1 5 9 3 3 5 9 3 9 9 2 3 5 9 8 8 0 5 7 6 7 2 3 4 8 8 4 8 6 7 7 2 6 7 7 7 6 6 4 6 7 0 9 3 6 9 4 7 0 6 3 2 9 1 7 4 6 7 4 9 5
于是求当 n 为 1 0 0 0 0 0 0 时，可以
∑ B n ＞ l n 1 0 0 0 0 0 0 ＋ γ － 1 ． 5 ≈ 1 2 ． 8 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
∑ B n ＜ l n 1 0 0 0 0 0 0 ＋ γ － 1 ≈ 1 3 ． 3 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
于是 1 2 ． 8 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7 ＜ ∑ B n ＜ 1 3 ． 3 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
于是 5 1 ． 5 7 0 9 0 4 8 9 1 4 6 3 2 3 ＜ ∑ A n ＜ 5 3 ． 5 7 0 9 0 4 8 9 1 4 6 3 2 3
当然当 n 很大时，用这种办法估计 ∑ A n 的大小是很方便的，但是当 n 比较小时，计算 ∑ A n 就没有什么意义了．

下面是关于欧拉常数γ的介绍:
http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/1f504bde2198771b4854034f.html

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其他回答

第1个回答 2009-05-16

1/（1+2+3+4）+1/（2+3+4+5）+。。。+1/（100+101+102+103）
= （1/4）·（1/3 - 1/7 + 1/5 - 1/9 + 1/7 - 1/11 +......+1/201 - 1/205）
= （1/4）·（1/3 + 1/5 - 1/203 - 1/205）
= 200·（1/4）·（1/609 + 1/1025）
= 50/609 + 2/41
= 3268/24969

第2个回答 2009-05-24

发散的，这是调和数列

第3个回答 2009-05-17

真n 。。

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