求切平面与法平面的差异？

Question

我老觉得方法一样，切线和法线好像方法也一样，为什么？

Answer 1

如果是在高等数学的话，一般空间曲线求取切线和法平面，空间曲面求取其切平面和法线

Answer 2

我们知道在平面中，切线是通过线上两点无限逼近的思想去定义的。
接下来，我们自然可以定义空间内的曲线的切线。
先定义切向量r'(t0)=lim(△t-o)[r(t0+△t)-r(t0)]/△t.然后导出切线方程为（[X-x(t0)]/x'(t0)=[Y-y(yo)]/y'(t0)=[Z-z(t0)]/z'(t0)).
然后就可以通过切线方程去定义法平面方程（即与切线垂直的面）（[X-x(t0)]x'(t0)+[Y-y(t0)]y'(t0)]+[Z-z(t0)]z'(t0)=0）。
在空间曲线上有法平面的定义（即垂直于切线），凡是过切线的平面我们都可以称作切平面，在微分几何中还重点讲解了两类特殊的切平面（密切平面和从切平面）
再来，我们研究空间曲面上的点。
我们可以通过切线的定义在曲面上一点找到两条不平行的切线，这时我们就发现只有一个切平面，这时，也就会发现没有一个平面能与所有的切线垂直，即没有所谓的法平面。但是作为补充我们定义这时的切平面的法向量为法线。
所以根据上面的综述，
1.在空间曲线中有法平面的定义（与切线垂直），切平面的定义（包含切线）。
2.在空间曲面中有切线的定义（包含所有切线），法线定义。
上述结论都是在定义切线后得出。