1定义理解：函数种两数集元素间应关系（叫函数关系）种关系用f表示函数表示列表图像解析
已知A={1,2} B={03}写所AB函数
解：AB函数：f1: 1→02→0 f2：1→32→3 f3：1→02→3 f4：1→32→0
共4种
2定义域问题：函数定义域指自变量取值范围完整函数仅要解析式且要定义域判断两函数否相同仅要看解析式要看定义域
例 判断y=x/x^2与y=1/x否同函数
解 相同定义域且解析式x/x^2=1/x,所同函数
抽象函数定义域求：
三种类型
（1）已知y=f(x)定义域A,求y=f(p(x))定义域B.由x属于Ap(x)εB解x即
已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域求：8>=x^2-1>=0
解 3>=x>=1即[1,3]
（2）已知y=f(p（x))定义域B 求y=f(x)定义域A
y=f(p(x))定义域B 令t=p(x) 求x属于Bt范围y=f(t)定义域
y=f(x)定义域
已知y=f(x^2-1)定义域[1,3]求y=f(x)定义域
解 令t=x^2-1 ,1<=x<=3 所0<=t<=8 y=f(t)定义域[0,8]
y=f(x)定义域[0,8]
（3）已知y=f(p(x))求y=f(g(x))定义域
用边由y=f(p(x))定义域求y=f(x)定义域再求y=f(g(x))定义域
3值域问题；求函数值域必须看函数定义域
求函数值域几种见式
(1）直接：利用见函数值域求
函数y=ax+b(a等于 0)定义域R值域R；
反比例函数 定义域{x|x≠0},值域{y|y≠0}；
二函数定义域R
a>0值域{y|y≥(4ac-b2)/4a}；
a<0值域{y|y≤(4ac-b2)/4a}
例1．求列函数值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x2-2x+3
解：①∵-1≤x≤1∴-3≤3x≤ 3∴-1≤3x+2≤5即-1≤y≤5
∴值域y∈[-15]
②y=x2-2x+3
∵1>0,∴y(min)=(4ac-b2)/4a=[4×1×3-（-2）2]/4×1=1
即函数值域{y|y≥2}2．
二函数定区间值域(值)：
①f(x)=x2-6x+12 x∈[4,6]
称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二项系数1>0
所f(x)=x2-6x+12 x∈[4,6]增函数
所f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)值域[4,12]
②f(x)=x2-6x+12 x∈[0,5]
称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二项系数1>0
所f(x)=x2-6x+12 x∈[0,3]减函数x∈(3,5]增函数
所f(x)min=f(3)=3 f(0)=12 f(5)=7所f(x)max=f(0)=12
f(x)值域[3,12]
(3)察看求y=(√x)+1值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1值域[1,+∞)
(4)配式求y=√(x2-6x-5)值域
∵-x2-6x-5≥0知函数定义域[-5,-1]
∵-x2-6x-5=-(x+3)2+4-5≤x≤-1
所-2≤x+3≤2 所0≤(x+3)2≤4所-4≤-(x+3)2≤0
终于0≤-(x+3)2+4≤4所0≤√(x2-6x-5)≤2
所y=√(x2-6x-5)值域[0,2]
(5).图像求y=｜x+3｜+｜x-5｜值域
解：y=-2x+2(x<-3)
y=8 (-3≤x<5)
y=2x-2(x≥5)
自画图像由图知y=｜x+3｜+｜x-5｜值域[8+）(6)判别式求y=1/(2x2-3x+1)解
∵2x2-3x+1≠0∴函数定义域{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
函数变形2yx2-3yx+y-1=0y≠0,
述关于x二程实数解Δ=9y2-8y(y-1)≥0所y≤-8或y≥0
y=0程解所y=0原函数值
所y=1/(2x2-3x+1)值域(-∞,-8]∪(0,+∞)
（7）换元求y=2x－√（x-1)值域
解令t=√（x-1)显t≥0x=t2+1所y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-1/4)2+15/8
t≥0所y=2x－√（x4单调性问题：
（1）证明函数指定区间递增递减问题
证明 f(x)=1+x/√x（01〕递减
证明：任取x1x2ε（01〕 x1＞x2
f（x1）－f（x2）＝（√x1－√x2）（√x1√x2－1）／√x1√x2
√x1－√x2＞0√x1√x2－1＜0√x1√x2＞0
所 f（x1）－f（x2）＜0 函数（01〕递减
般情况 证明f（x1）＞f（x2）采用作差作商
（2）求单调区间问题
①.定义
例题 已知函数y=x^3-x（0a]减函数[a,+)增函数求a值
解 析函数R+单调性
任取x1>x2>0
Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)
=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
令y1-y2>0 所 X1^2+X1X2+X2^2-1>0
X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1
3X2^2-1>=0 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3 y1-y2>0 函数递增
同理 3X1^2-1<=0 即X1<=根号3/3 y1-y2<0 函数递减
故函数R+增区间[根号3/3,+）减区间（0根号3/3)
a=根号3/3
般情况用定义求函数单调区间求使y1-y2>0(<0)x1,x2取值范围要变换等式求x1x2范围求函数单调区间
②.图像
例题 求y=x+3/x-1单调区间
解 函数定义域（-1）并（1+)
Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1
由图像知函数（-1）（1+0）递减
函数图像解决类问题关键
③.性质
性质：增+增=增 减+减=减
y=f(x)与y=kf(x) k>0 相同单调性 k<0相反单调性
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) k>0 相反单调性k<0 相同单调性
例题 求y=x^3+x单调区间
解y=x增函数x>=0y=x^3递增x<0y=x^3递增所y=x^3R增函数
由性质知函数y=x^3+x单调区间R.
④.复合
u=p(x) y=f(u)复合函数：y=f(p(x））单调性：同增异减
例题 求y=根号(x-1)(x+1)单调区间
解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
x>=1 u=(x-1)(x+1)递增
x<=-1 u=(x-1)(x+1)递减
Y=根号u递增
所 原函数单调增区间[1,+)
减区间（--1]
5求参数问题
（1）恒立问题
m≥f(x)转化m≥f(x)值m≤f(x)转化m≤f(x)值
例题 已知m≥x^2+2x+3 xε[2,3]恒立求m范围
解：令y=x^2+2x+3 y值30 所m≥30
(2)单调性问题
例题 已知y=x^2+2x+2（a,+∞)递增求a取值范围
解：y=x^2+2x+2增区间[-1,+∞) 所a≥1
-1)值域[15/8,+∞)
6复合函数奇偶性问题
记F(x)=f[g(x)]——复合函数则F(-x)=f[g(-x)]
（1）g(x)奇函数即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]
f(x)奇函数F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)F(x)奇函数；
f(x)偶函数F(-x)=f[g(x)]=F(x)F(x)偶函数
（2）g(x)偶函数即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)F(x)偶函数
结论：F(X)=f(g(x))奇偶性
若 g(x)奇f(x)奇 则 F(X)奇
若g(x),f(x)至少偶函数则 F(X)偶
例题：判断F(X)=(X^2+1)^3（-2≤X≤2)奇偶性
解：定义域关于原点称
u=g(x)=x^2+1(-2≤x≤2)偶函数
f（u)=u^3 奇函数
所 原函数偶函数
已知A={1,2} B={03}写所AB函数
解：AB函数：f1: 1→02→0 f2：1→32→3 f3：1→02→3 f4：1→32→0
共4种
2定义域问题：函数定义域指自变量取值范围完整函数仅要解析式且要定义域判断两函数否相同仅要看解析式要看定义域
例 判断y=x/x^2与y=1/x否同函数
解 相同定义域且解析式x/x^2=1/x,所同函数
抽象函数定义域求：
三种类型
（1）已知y=f(x)定义域A,求y=f(p(x))定义域B.由x属于Ap(x)εB解x即
已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域求：8>=x^2-1>=0
解 3>=x>=1即[1,3]
（2）已知y=f(p（x))定义域B 求y=f(x)定义域A
y=f(p(x))定义域B 令t=p(x) 求x属于Bt范围y=f(t)定义域
y=f(x)定义域
已知y=f(x^2-1)定义域[1,3]求y=f(x)定义域
解 令t=x^2-1 ,1<=x<=3 所0<=t<=8 y=f(t)定义域[0,8]
y=f(x)定义域[0,8]
（3）已知y=f(p(x))求y=f(g(x))定义域
用边由y=f(p(x))定义域求y=f(x)定义域再求y=f(g(x))定义域
3值域问题；求函数值域必须看函数定义域
求函数值域几种见式
(1）直接：利用见函数值域求
函数y=ax+b(a等于 0)定义域R值域R；
反比例函数 定义域{x|x≠0},值域{y|y≠0}；
二函数定义域R
a>0值域{y|y≥(4ac-b2)/4a}；
a<0值域{y|y≤(4ac-b2)/4a}
例1．求列函数值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x2-2x+3
解：①∵-1≤x≤1∴-3≤3x≤ 3∴-1≤3x+2≤5即-1≤y≤5
∴值域y∈[-15]
②y=x2-2x+3
∵1>0,∴y(min)=(4ac-b2)/4a=[4×1×3-（-2）2]/4×1=1
即函数值域{y|y≥2}2．
二函数定区间值域(值)：
①f(x)=x2-6x+12 x∈[4,6]
称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二项系数1>0
所f(x)=x2-6x+12 x∈[4,6]增函数
所f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)值域[4,12]
②f(x)=x2-6x+12 x∈[0,5]
称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二项系数1>0
所f(x)=x2-6x+12 x∈[0,3]减函数x∈(3,5]增函数
所f(x)min=f(3)=3 f(0)=12 f(5)=7所f(x)max=f(0)=12
f(x)值域[3,12]
(3)察看求y=(√x)+1值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1值域[1,+∞)
(4)配式求y=√(x2-6x-5)值域
∵-x2-6x-5≥0知函数定义域[-5,-1]
∵-x2-6x-5=-(x+3)2+4-5≤x≤-1
所-2≤x+3≤2 所0≤(x+3)2≤4所-4≤-(x+3)2≤0
终于0≤-(x+3)2+4≤4所0≤√(x2-6x-5)≤2
所y=√(x2-6x-5)值域[0,2]
(5).图像求y=｜x+3｜+｜x-5｜值域
解：y=-2x+2(x<-3)
y=8 (-3≤x<5)
y=2x-2(x≥5)
自画图像由图知y=｜x+3｜+｜x-5｜值域[8+）(6)判别式求y=1/(2x2-3x+1)解
∵2x2-3x+1≠0∴函数定义域{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
函数变形2yx2-3yx+y-1=0y≠0,
述关于x二程实数解Δ=9y2-8y(y-1)≥0所y≤-8或y≥0
y=0程解所y=0原函数值
所y=1/(2x2-3x+1)值域(-∞,-8]∪(0,+∞)
（7）换元求y=2x－√（x-1)值域
解令t=√（x-1)显t≥0x=t2+1所y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-1/4)2+15/8
t≥0所y=2x－√（x4单调性问题：
（1）证明函数指定区间递增递减问题
证明 f(x)=1+x/√x（01〕递减
证明：任取x1x2ε（01〕 x1＞x2
f（x1）－f（x2）＝（√x1－√x2）（√x1√x2－1）／√x1√x2
√x1－√x2＞0√x1√x2－1＜0√x1√x2＞0
所 f（x1）－f（x2）＜0 函数（01〕递减
般情况 证明f（x1）＞f（x2）采用作差作商
（2）求单调区间问题
①.定义
例题 已知函数y=x^3-x（0a]减函数[a,+)增函数求a值
解 析函数R+单调性
任取x1>x2>0
Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)
=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
令y1-y2>0 所 X1^2+X1X2+X2^2-1>0
X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1
3X2^2-1>=0 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3 y1-y2>0 函数递增
同理 3X1^2-1<=0 即X1<=根号3/3 y1-y2<0 函数递减
故函数R+增区间[根号3/3,+）减区间（0根号3/3)
a=根号3/3
般情况用定义求函数单调区间求使y1-y2>0(<0)x1,x2取值范围要变换等式求x1x2范围求函数单调区间
②.图像
例题 求y=x+3/x-1单调区间
解 函数定义域（-1）并（1+)
Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1
由图像知函数（-1）（1+0）递减
函数图像解决类问题关键
③.性质
性质：增+增=增 减+减=减
y=f(x)与y=kf(x) k>0 相同单调性 k<0相反单调性
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) k>0 相反单调性k<0 相同单调性
例题 求y=x^3+x单调区间
解y=x增函数x>=0y=x^3递增x<0y=x^3递增所y=x^3R增函数
由性质知函数y=x^3+x单调区间R.
④.复合
u=p(x) y=f(u)复合函数：y=f(p(x））单调性：同增异减
例题 求y=根号(x-1)(x+1)单调区间
解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
x>=1 u=(x-1)(x+1)递增
x<=-1 u=(x-1)(x+1)递减
Y=根号u递增
所 原函数单调增区间[1,+)
减区间（--1]
5求参数问题
（1）恒立问题
m≥f(x)转化m≥f(x)值m≤f(x)转化m≤f(x)值
例题 已知m≥x^2+2x+3 xε[2,3]恒立求m范围
解：令y=x^2+2x+3 y值30 所m≥30
(2)单调性问题
例题 已知y=x^2+2x+2（a,+∞)递增求a取值范围
解：y=x^2+2x+2增区间[-1,+∞) 所a≥1
-1)值域[15/8,+∞)
6复合函数奇偶性问题
记F(x)=f[g(x)]——复合函数则F(-x)=f[g(-x)]
（1）g(x)奇函数即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]
f(x)奇函数F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)F(x)奇函数；
f(x)偶函数F(-x)=f[g(x)]=F(x)F(x)偶函数
（2）g(x)偶函数即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)F(x)偶函数
结论：F(X)=f(g(x))奇偶性
若 g(x)奇f(x)奇 则 F(X)奇
若g(x),f(x)至少偶函数则 F(X)偶
例题：判断F(X)=(X^2+1)^3（-2≤X≤2)奇偶性
解：定义域关于原点称
u=g(x)=x^2+1(-2≤x≤2)偶函数
f（u)=u^3 奇函数
所 原函数偶函数
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