第1个回答 2009-04-24
费马大定理 Fermat's last theorem
[编辑本段]定理简介
费马大定理：
当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程
x^n + y^n = z^n.
的整数解都是平凡解，即
当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)
当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
[编辑本段]研究历史
1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得an + bn = cn。
1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。
1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。
2：费马自己证明了n=4的情形。
3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
5：库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
6：勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞，被否决。
7：希尔伯特也研究过，但没进展。
8：1983年，德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫代尔猜想x的平方+y的平方=1这样的方程至多有有限个有理数解，他由于这一贡献，获得了菲尔兹奖。
9：1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。
10：1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。
11：1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。
12：1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”
[编辑本段]证明过程
1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n＝4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n＝4。1770年欧拉证明n＝3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n ＝5。1832年狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n＝7，随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔，他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数理论，为代数数论奠下基础；库麦尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。
为推进费马大定理的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，并充分考虑到证明的艰巨性，将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给数学家，期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行。”
在解决问题的过程中，数学家们不但利用了广博精深的数学知识，还创造了许多新理论新方法，对数学发展的贡献难以估量。1900年，希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入，却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明，但他认为问题一旦解决，有益的副产品将不再产生。“我应更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”
数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n＜4002。大型计算机的出现推进了证明速度，1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。但数学是严谨的科学，n值再大依然有限，从有限到无穷的距离漫长而遥远。
1983年，年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想，为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖；此奖相当于数学界的诺贝尔奖，只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论：对于形如x^n+y^n=z^n（n≥4）的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距，但从无限到有限已前进了一大步。
1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想，德国数学家弗雷在1985年指出：如果费马大定理不成立，谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想，补足了弗雷观点的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明，费马大定理不证自明。
事隔一载，美国加利福尼亚大学伯克利分校数学家里比特证明了佩尔猜想。
1993年6月，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中，怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明，是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地，与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的！这时在座60多位知名数学家意识到，困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了！这一消息在讲演后不胫而走，许多大学都举行了游行和狂欢，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。
但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，怀尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月20日上午11时彻底圆满证明了“费马大定理”
[编辑本段]证明方法
五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程x^n + y^n = z^n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x^4 + y^4 = z^4 ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1〔p是一个奇素数〕均无xyz≠0的整数解。
n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情，但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p < 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立。
现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使x^n + y^n = z^n ，则x > 101,800,000。
说明：
要证明费马最后定理是正确的
（即x^ n+ y^n = z^n 对n>2 均无正整数解）
只需证 x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P为奇质数)，都没有整数解。
费马大定理证明过程(英):
弗雷曲线
假设有平凡解决费尔马方程的一些数N岛大肠杆菌非零整数有A ， B ，碳，氮等的
然后，我们还记得，在1982年弗雷呼吁注意椭圆曲线
呼叫这个曲线体育弗雷指出了一些非常不寻常的性能，并猜测它可能是这样不寻常的可能实际上并不存在。
首先，各种常规的计算使我们能够作出一些有益的简化假设，而不丧失概括性。举例来说，正可应该总理和5 。 B可以被认为甚至3 （国防部4 ） ，和C 1国防部4 。 1 ， B和C可以假定相对总理。
在“最低限度的判别”的E ，可以计算应-功率的2倍完美的原动力。一个不寻常的事E是多么大的区别是。
售票员是一个产品的素数在减少é已坏，这是一样的一套素分裂最小判别。但是，确切的权力每个总理发生在导体取决于什么类型的奇异曲线拥有的素数模的坏减少。的定义，售票员提供磷分裂导线只有第一个权力如果x （沙） （十+二）只有一个，而不是双根三根国防部页现在，任何总理可以鸿沟只有A或B ，但不能两者都选，否则也将鸿沟C ，以及我们已经承担了， B和C相对总理。因此，将有多项式的形式x （十+四）国防部磷，在那里（磷，四） = 1 。因此，只有在最双重根模任何首相，因此，导体平方米的自由。换言之， E是半。
还有其他一些奇怪的事情关于E ，这都与特定的性质及其伽洛瓦申述。由于这些，里贝的结果使我们得出这样的结论：不能被模块化。
证明费马大定理从谷，志村猜想
在弗雷提请注意不寻常的椭圆曲线这将导致是否有解决方案实际上是一个平凡的费尔马方程，让皮埃尔塞尔（谁作出了许多贡献，现代数论和代数几何）制定的各种猜想，有时单独和有时同谷，志村猜想，可以用来证明费马大定理。
肯尼思里贝迅速找到一种方法来证明这些推测。猜想本身并不真正谈论要么弗雷曲线或外语。相反，它只是说如果伽洛瓦代表与椭圆曲线é具有一定的特性，然后不能模块化。具体来说，它不能被模块化的，即存在一个模块化形式，引起同一伽洛瓦代表性。
我们需要引进一些额外的符号和术语来解释这一更准确。让小（否）是（向量）空间尖形式为（ n ）的重量2 。 “经典”理论的模块化形式表明，县（ N ）的可确定与空间的“纯差别”的黎曼面第十章（ n ）段。此外，该层面的S （ N ）的是有限的和平等的“属”的X （ n ）段。 “属”是一个标准的拓扑财产的表面，这是直观的人数洞的表面。 （如一环，如椭圆曲线，已属1 。 ）
但也有相对简单明确的公式属的X （ n ）段。这些公式，发达国家不久前赫尔维茨理论的黎曼曲面，涉及的指数（ n ）在湾的一个事实至关重要的是， N个“ 。 11 ，属中X （ N ）的，因此层面的S （ N ）的，是零。换言之，第S （ N ）的只包含常数形式0在这种情况下。我们将利用这一事实小（ 2 ）很快。
还有一些运营商呼吁Hecke运营商，后埃里希Hecke ，空间上的模块化的形式，和子小（ N ）在特定的，因为它们的重量保持的一种形式。 Hecke运营商可以定义具体以各种方式。有Hecke算子T （ n ）的对所有n 1 。有公式涉及Ť （ N ）的复合N至T （规划） ，这里p是素数除以氮，使吨（规划）为总理p确定所有T （ n ）段。
所有T （ n ）的正线性算子的S （ n ）段。如果有一架F在S （ N ）的，这是同步特征向量所有T （ n ）款，一大肠杆菌吨（ n ）的（女） = （ N ）的男，在（北） ç ，女被称为eigenform 。 （非平凡eigenforms没有必要存在，例如，如果县（ N ）的已层面0 。 ） f是说，如果将归其领导傅里叶级数系数为1 。在这种情况下，特征值（ N ）的变成了傅里叶级数系数在扩大
有证据表明，若f （ z ）的形式是一个尖这是一个本征函数的归所有T （规划） ，然后有一个欧拉产品分解为L -函数的L （法文，西班牙文） 。这显然是非常有用的技术有关L -函数的形式和椭圆曲线（这是欧拉产品的定义） 。
如果厂（ N ）的是一个标准化eigenform所有Hecke运营商，它可以在事实上表明，在傅里叶系数扩大都是代数数，它们产生有限延长K的问
总理理想整数环的K是类似物总理人数问：在F是归一eigenform有可能进行建设伽洛瓦代表（楼）的半乳糖（ / q一起使用）的任何素理想的环整数的光
最后，我们可以描述里贝证明。假设E是一个半椭圆曲线与指挥N和其相关伽洛瓦代表（英文，磷）总理p一些具有一定的属性。假设2鸿沟ñ （这是真正的弗雷曲线） 。如果E是模块化的，然后有一个规范化eigenform F和总理理想低洼磷（即一个主要因素， P的延长领域所产生的Fourier系数的F ）这样，伽罗瓦代表（楼）是（英文，磷） 。里贝表明，有可能找到一个奇怪的总理资格分为ñ等，还有另一种氟小（ ñ / q ）和一个相应的素理想'环整数领域所产生的系数的F '这样（女' ， ' ）为基本相同的伽罗瓦代表性。这是被称为“级别降低”猜想，因为它声称，在适当的条件下有一个eigenform的一个较低的水平，使基本相同的代表性。
但这一过程可以重复，只要N的发展，任何奇怪的主要因素。重要的是，曲线E是半使N是方形自由。这意味着所有的奇素数的N因素可以被消除，因此必须有一个平凡eigenform的第2级，一大肠杆菌在S （ 2 ） ，使基本相同伽洛瓦代表性。这是一个矛盾，因为小（ 2 ）维0 ，因此不包含非平凡的形式。矛盾意味着不能被模块化。
现在，我们援引“不寻常”属性弗雷曲线产生的解决外语教学。这些特性使其能够证明相关伽洛瓦代表性的性质申请里贝的结果。因此，弗雷曲线不能模块化。
但是，弗雷曲线半，所以半案件谷，志村猜想，这怀尔斯证明，意味着曲线模块化。这种矛盾意味着，假设存在一个非平凡解
费尔马方程必须是错误的，所以外语教学的证明。
证明了半箱子的谷山，志村猜想
不是很奇怪（因为它是这样的艰苦的工作） ，证明是相当的技术。然而，它的轮廓是相对简单的。在下面的，我们认为， E是一个半椭圆曲线与导体北路我们必须证明E是模块化的。
我们知道，我们可以建造一个伽罗瓦代表（英文，磷） ：八国集团“冰川（ z ）的任何总理页表明， E是模块化的，我们必须表明，该代表是在一个合适的模块化意识。美丽的事情是，这需要做的只有一个总理磷，我们可以“货比三家”无论是最简单的总理一道。
要显示（英文， p ）是模块化涉及寻找正常化eigenform F在县（ N ）的适当的属性。性能要求是，特征值的男，这是它的傅里叶级数系数，应全等国防部q要追踪（ （英文，磷） （ ） ）为所有，但数量有限总理问： （ G是“弗罗贝纽斯元素” 。 ）我们知道，微量元素，对于q总理对伪，系数1 = q + 1 - ＃ （英文（ f ）段）的Dirichlet级数的L （英文，西班牙文） 。
最长，最难的一部分，怀尔斯的工作是证明了一般性的结果大致是，如果（英文， p ）是模块化那么是（英文，磷） 。换言之，表明E是模块化的，它实际上是足够的只是为了表明， （英文，磷） ：八国集团“冰川（ ž /剂PZ ）是模块化的。
这就是所谓的“模块化解除问题” 。
这个问题归结为假设（英文， p ）是模块化的，并试图“升降机”的代表权（英文，磷） 。这样做主要是由工作的理论表述尽可能没有具体提到曲线大肠杆菌的证明使用一个概念叫做“变形” ，这表明所发生的直观的过程中取消。
这一成果的一部分怀尔斯的工作是：
定理：假设E是一个半椭圆曲线超过问：设p是奇素数。假定代表（英文， p ）是既束缚和模块化。然后E是一个模块化的椭圆曲线。
在这一点上，我们要做的是找到一个单一的总理p这样（英文， p ）是束缚和模块化。但是朗兰兹和
Tunnell已经证明在1980至1981年的（英文， 3 ）是模块化的。
不幸的是，这不是很不够的。如果（英文， 3 ）是束缚，我们正在这样做。但除此之外，一个步骤是必要的。因此，假设（英文， 3 ）还原。怀尔斯接着审议（英文， 5 ） 。这可能是还原或不可及。如果是还原，怀尔斯证明直接E是模块化的。
因此，最后一宗个案是，如果（英文， 5 ）的束缚。怀尔斯发现，还有一个半曲线é '这样（ è ' ， 3 ）是束缚，因此é '是模块化上述定理。但是，怀尔斯也可以安排，该申述（英文' ， 5 ）和（ E ， 5 ）是同构。因此， （英文， 5 ）是束缚和模块化，所以E是模块化的定理。