已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．（1）如图1，当

Question

已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．（1）如图1，当PC=PB时，则S △ PBE 、S △ PCF S △ BPC 之间的数量关系为 　 _________ 　 ；（2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S △ PBE +S △ PCF =4S △ BPG ；（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF于点N，若S △ bpc =80，BE=6．求线段DN的长．

Answer 1

（1）S △ PBE +S △ PCF =S △ BPC ；     （2）见解析    （3）DN=2 或3

试题分析：（1）如图1所示：过点P作PI⊥BC于点I， ∵PB=PC， ∴PI∥BE∥CF， ∴PI是梯形BCFE的中位线， ∴PI= （BE+CF）， ∵△PBC是等腰直角三角形， ∴PI=AB=CI， ∴S △ PBE +S △ PCF = BE?BI+ CF?CI= BE× BC+ CF? BC= BC（BE+CF）= BC?PI=S △ PBC ； 故答案为：S △ PBE +S △ PCF =S △ BPC ； （2）如图2，过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°， ∵∠BPC=90°， ∴∠EPB+∠BPG=90°， ∵∠BPG+∠CPG=90°， ∴∠EPB=∠CPG， 同理，∵∠EBP+∠PBC=90°，∠PBC+∠BCP=90°， ∴∠EBP=∠BCP， ∴△EPB∽△GPC， ∵PC=2PB， ∴ =（ ） 2 = ∴S △ GPC =4S △ EPB ， 同理可得S △ FPC =4S △ GPB ， ∵S △ PBG +S △ PGC =S △ BPC ， ∴16S △ PBE +S △ PFC =4S △ BPC ； （3）如图3，设正方形的边长为a（a＞0）， ∵∠BPC=90°，PC=2PB，S △ BPC =80， ∴ ? ? =80，解得a=20， 由（2）知，△EPB∽△GPC， ∴CG=2BE=12， ∴BG=8， ∴CF=16，DF=4， 过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T， ∵PM⊥BC，BC=20，S △ BPC =80， ∴PM=8， ∴PH=12，PT=16，FT=8， ∵∠PQF=90°， ∴由勾股定理得，（HQ 2 +HP 2 ）+（DQ 2 +DF 2 ）=PT 2 +TF 2 ，即（16﹣DQ） 2 +12 2 +（DQ 2 +4 2 ）=16 2 +8 2 ，解得DQ=4或DQ=12， 当DQ=4时， ∵DQ=DF=4，∠PQF=90°，DN为∠QDF的角平分线， ∴DN= QD=2 ； 当DQ=12时，过点N作NN 1 ⊥QD于N 1 ， ∵∠QOF=90°，DN为∠QDF的角平分线， ∴∠QDN=45°， ∵NN 1 ⊥AD， ∴NN 1 =N 1 D，△QDF∽△QN 1 N， ∴ = ， = ，解得NN 1 =3， ∴DN= = =3 ， 综上所述，DN=2 或3 ． 点评：本题考查的是相似形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质进行解答．