有10个三好生名额，分配到六个班中，每班至少一名，共有几种分法？

Question

要求有详细的说明，最好有多种解法。答案为126。

Answer 1

非常简便的方法。
由于只涉及到名额不涉及到人，故是个组合问题。

将10个名额写成10个1进行排列。
如下：

1____1____1____1____1____1____1____1____1____1

这10个1中间有9个空。
在这9个空中间选5个空填上“+”号或其它分隔符号。
如下：

1____1_+ _1_+ _1____1_+ _1_+ _1_+ _1____1____1

这个就产生了一个名额分配方法。
5个加号把10个1分隔成了6个部分。
上例中，第1个加号左边有2个1，然后第1个和第2个加号之间有1个1，
然后第2个和第3个加号之间有2个1，然后第3个和第4个加号之间有1个1，
然后第4个和第5个加号之间有1个1，然后第5个加号右边有3个1。

这样，令每个班的分配到的名额等于上面分隔成的6个部分依次对应的1的个数，就形成了一种分法。
上例中，第1个班有2个名额，第2个班有1个名额，第3个班有2个名额，
第4个班有1个名额，第5个班有1个名额，第6个班有3个名额。

显然，五个加号的位置只要稍微有一点变化，就会形成不同的分法。
加号的位置选取与名额的分配方法是一一对应的。

故名额的分配方法数，等于加号的位置选取方法数。

9个空填入5个加号，故有方法数为
C(5,9)=126
C(5,9)表示组合，上标为5，下标为9。