数学试题
（2008/06/15）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表示应为
A. 25.8×104m2 B. 25.8×105m2
C. 2.58×105m2 D. 2.58×106m2
2. 已知 是方程 的一个解，那么 的值是
A. 1 B. 3 C. -3 D. -1
3. 在直角坐标系中，点P（4， ）在第一象限内，且OP与 轴正半轴的夹角为60°，则 的值是
A. B. C. -3 D. -1
4. 如图，已知直线AB‖CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
5. 化简 的结果是
A. B. C. D.
6. 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为 ，则
A. 0°< <90° B. 0°< ≤90°
C. 0°< <90°或90°< <180° D. 0°< <180°
7. 在一次质检抽测中，随机抽取某摊位20袋食盐，测得各袋的质量分别为（单位：g）
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据以上抽测结果，任买一袋该摊位的食盐，质量在497.5g~501.5g之间的概率为
A. B. C. D.
8. 由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如右所示，则该几何体中正方体木块的个数是
A. 6个 B. 5个
C. 4个 D. 3个
9. 以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则ΔADE和直角梯形EBCD周长之比为
A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:7
10. 如图，记抛物线 的图象与 正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，Pn-1，过每个分点作 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有 ， ，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。
11. 写出一个比-1大的负有理数是_____；比-1大的负无理数是_____
12. 在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是__________和__________；并写出它们的面积比_________
13. 小张根据某媒体上报道的一张条形统计图（如右），在随笔中写道：“……今年在我市的中学生艺术节上，参加合唱比赛的人数比去年激增……”。小张说得对不对？为什么？请你用一句话对小张的说法作个评价：
______________________________________
14. 从1至9这9个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是________
15. 如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于⊙O的直径AB。⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D。已知⊙O1的半径为r，则AO1=________；DE_________
16. 如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是________________________
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17.（本小题满分6分）
课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？
如果假设鸡有 只，兔有 只，请你列出关于 ， 的二元一次方程组，并写出你求解这个方程组的方法。
18.（本小题满分6分）
如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，
（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在各函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置。
19.（本小题满分6分）
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程。
20.（本小题满分8分）
如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得
（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
21.（本小题满分8分）
据2008年5月14日钱江晚报“浙江人的买车热情真是高”报道，至2006年底，我省汽车保有量如下图1所示，其中私人汽车占汽车总量的大致比例可以由下表进行统计（单位：万辆）：
年度 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
汽车总数 70 90 105 135 170
私人汽车 25 30 75 135 175
私人汽车占总量比例 35.7% 33.3% 55.6%
（1）请你根据图1直方图提供的信息将上表补全；
（2）请在下面图2中将私人汽车占汽车总量的比例用折线图表示出来
22.（本小题满分10分）
为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为 （ 为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
23.（本小题满分10分）
如图，在等腰ΔABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ΔABC和ΔABG的面积分别为SΔABC和SΔABG，如果存在点P，能使SΔABC=SΔABG，求∠C的取值范围。
24.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数 的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。
（1）是否存在这样的抛物线F，使得 ？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ‖BC，且tan∠ABO= ，求抛物线F对应的二次函数的解析式。
数学参考答案及评分标准
一. 选择题(每小题3分, 共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C A D B C D C
二. 填空题(每小题4分, 共24分)
11. ; 等, 答案不惟一
12. ; 9:16 或 ; 9:25 或 ; 16:25
13. 说得不对, 不光看图象, 要看到纵坐标的差距不是很大.
14. 15. 16. 4或7或9或12或15
三. 解答题(8小题共66分)
17. (本题6分)
方程组如下: , --- 4分
可以用代入消元和加减消元法来解这个方程组. --- 2分
18. (本题6分)
(1) 对应关系连接如下: --- 4分
(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时, 函数关系图上 的位置如上: --- 2分
19. (本题6分)
凸八边形的对角线条数应该是20. --- 2分
思考一: 可以通过列表归纳分析得到:
多边形 4 5 6 7 8
对角线 2 2+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+6
思考二: 从凸八边形的每一个顶点出发可以作出5(8-3)条对角线, 8个顶点共40条, 但其一条对角线对应两个顶点, 所以有20条对角线. --- 4分
(如果直接利用公式: 得到20而没有思考过程, 全题只给3分)
20. (本题8分)
作图如下, 即为所求作的 .
--- 图形正确4分,
痕迹2分, 结论2分
21. (本题8分)
(1) 补全表格: --- 4分
年度 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
汽车总数 70 90 105 135 170 200 250
私人汽车 25 30 50 75 100 135 175
私人汽车占总量比例 35.7% 33.3% 47.6% 55.6% 58.8% 67.5% 70%
(2) 折线图: --- 4分
22. (本题10分)
(1) 将点 代入函数关系式 , 解得 , 有
将 代入 , 得 , 所以所求反比例函数关系式为 ;--3分
再将 代入 , 得 ,所以所求正比例函数关系式为 .
--- 3分
(2) 解不等式 , 解得 ,
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室. --- 4分
23. (本题10分)
(1) ∵△ 是等腰△， 是底边上的高线，∴ ，
又∵ , ∴△ ≌△ ，
∴ , 即 ; --- 3分
(2) ∵ , ， ,
∴△ ≌△ ，∴ ; --- 3分
(3) 由(2)知△ 是以 为底边的等腰△，∴ 等价于 ，
1）当∠ 为直角或钝角时，在△ 中，不论点 在 何处，均有 ，所以结论不成立;
2）当∠ 为锐角时， ∠ ，而 ，要使 ，只需使∠ =∠ ，此时，∠ 180°–2∠ ，
只须180°–2∠ ∠ ，解得 60° ∠ 90°. --- 4分
(也可在 中通过比较 和 的大小而得到结论)
24. (本题12分)
(1) ∵ 平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 ,
∴ 抛物线 对应的解析式为: . --- 2分
∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ . --- 1分
令 , 得 ， ,
∴ )( )| ,
即 , 所以当 时, 存在抛物线 使得 .-- 2分
(2) ∵ , ∴ , 得 : ,
解得 . --- 1分
在 中,
1) 当 时,由 , 得 ,
当 时, 由 , 解得 ,
此时, 二次函数解析式为 ; --- 2分
当 时, 由 , 解得 ,
此时，二次函数解析式为 + + . --- 2分
2) 当 时, 由 , 将 代 , 可得 , ,
（也可由 代 ， 代 得到）
所以二次函数解析式为 + – 或 . --- 2分
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