电容器的容抗

Question

电容器的容抗的定义是什么,
我将"容抗就是电容对交流的阻碍作用。"理解成是它的物理意义,而不是定义.
从定义应该可以证明出:对于正弦交流电而言,容抗XC=1/(ω*C).

上面就是我的全部问题了.
我问该问题的目的是想知道如何计算电容器对于直流电i=kt的容抗值.
先给50分吧,完了再加30分.
按照 "红色の新月" 的说法,
如果U=K*t,则
Q=C*U=C*K*t,
I=dQ/dt=C*K,
那么任意瞬时的容抗值就是
U/I=t/C.

但是我发现了一个问题:
U = U[0]*Cos[ω t]
q = c*U = c U[0] Cos[t ω]
i = D[q, t] = -c U[0] ω Sin[t ω]
X[C]瞬时=U/i = -Cot[t ω]/(c ω)
X[C]平均=∫{t,0,2π/ω} -Cot[t ω]/(c ω)dt/(2π/ω),是不是更合适一些啊,
但是这个积分我不会做了,而且结果也未必是1/(ω*C).
即使用X[C]平均=∫{t,0,2π/ω}|-Cot[t ω]/(c ω)|dt/(2π/ω)好像也不是1/(ω*C)吧.

不完全明白.

Answer 1

可以直接量纲分析得到啊。只有两个相关量所加电压的频率（\omega）和电容自身的特性（C），而X_C的量纲和电阻一样。比例关系也是显然的，频率越高越容易通过——亦即容抗越小等等

数学一点的话，以正弦交流电为例~
U=U_0*Cos[w*t]

I=dQ/dt=d(C*U)/dt=C*w*U_0*(-Sin[w*t]) （这里利用电容定义：Q=C*U）

仿照电阻，容抗为：
X_C=U_bar/I_bar
这里的bar是平均概念，因为电压是变化的——变化电压产生的容抗也是变化的——因此只有平均值有实用意义。这样由于sin和cos在一个周期内的平均值相同。所以最后得到
X_C=1/(w*C)

补充：你还是把那个cot给搞出来了……我最初也是得到它的，当然那个积分是积不出来了（无穷大）。不过总感觉这样计算电阻有点别扭——毕竟这里的“电阻”只是一个人为定义的、不断变化的东西而已。那个无穷也只是来自于电流相位的迟滞、而不是一般电阻那样的具有物理内涵的发热。

如果非要解释数学为什么在这里失效，我想可能要问问电磁波波了，毕竟现实的电容没那么理想——猜测而已，仅供参考~

再补充一下吧。
关于那个无限：其实本来直流的情况下就是无限，所以出现这种情况是完全可以理解的。
容抗是完全根据效果定义的，不像电阻那样可以从原子层面出发进行推导。而这个人们关心的效果就是能耗，因此可以使用有效值定义——这个回答可能不十分让人满意，不过只能如此了……

Answer 2

借用3L“红色の新月”的一些观点，并做如下补充：
U=U_0*Cos[w*t]

I=dQ/dt=d(C*U)/dt=C*w*U_0*(-Sin[w*t])
这时，要体现交流电的直流特性，并不是用的平均值的概念，而是我们常说的有效值！
电压（流）的有效值为：最大值除于根号2，（这里电流的负号不用理会，因为只是相位差奇数个pi）
则
Xc=U有效/I有效=Uo/cωUo=1/cω
这样就是要证明的了。
只想说明两点，
当要把交流当直流来处理时，应该用的是有效值，不是平均值。
正负号的问题，是由相位引起的。本回答被提问者采纳

Answer 3

容抗XC=1/(ω*C)是纯电容的物理特性.对于i=kt的电流，容抗XC=1/(ω*C)并没有发生变化，只是电容两端电压相应发生变化。要想知道电容端电压是怎样的波形，可以用傅里叶变换求解。i=kt的电流包含有无穷多的正弦波频率成份，各种频率成份的电流幅度也不相同。电容端电压是各个频率正弦波电流按u＝XC*i的叠加，有很多工具可以计算和仿真的，如matlab

后来补充：ggggwhw的一个马甲：傅里叶变换对非周期信号也能变换，你还要多学点。i=kt也叫斜坡信号，还有种单位脉冲信号，电学常用。

补充：非周期信号傅里叶变换请参考维基百科:傅里叶变换
有时间我来算一下的

Answer 4

我是ggggwhw的一个马甲,
peter19992000 说的有些道理,
但是你说的傅立叶变换好像对于对于i=kt的电流没有作用,因为它不具有周期性,
傅立叶级数展开的前提就是周期性函数才适用.所以尽管有了XC=1/(ω*C)仍然算不出来容抗.

容抗XC=1/(ω*C)是纯电容的物理特性.对于i=kt的电流，容抗XC=1/(ω*C)并没有发生变化，只是电容两端电压相应发生变化。要想知道电容端电压是怎样的波形，可以用傅里叶变换求解。i=kt的电流包含有无穷多的正弦波频率成份，各种频率成份的电流幅度也不相同。电容端电压是各个频率正弦波电流按u＝XC*i的叠加，有很多工具可以计算和仿真的，如matlab

Answer 5

容抗就是电容对交流的阻碍作用。我觉得这应该就是它的定义。
正弦交流电而言,容抗XC=1/(ω*C). 这应该只是由多次实验得出的公式，凑出来的，而不是从定义推导出的。