怎样计算不定积分∫e^(x^(-1)) dx？

Question

如题所述

Answer 1

要计算不定积分 ∫e^(x^(-1)) dx，我们可以使用换元法来解决。
令 u = x^(-1)，则 du/dx = -x^(-2)，或者写成 dx = -x^(2) du。
将这个换元代入到原始的不定积分中，得到新的积分表达式：
∫e^(x^(-1)) dx = ∫e^u (-x^2 du)
我们还需要对被积函数中的积分变量进行相应的改变。当 x 取最小值时，u 取最大值；当 x 取最大值时，u 取最小值。所以，我们需要调整积分的上下限。
当 x 取最小值时（即负无穷），u 取最大值（即0）；当 x 取最大值时（即正无穷），u 取最小值（即无穷大）。因此，上下限的调整为：
∫e^(x^(-1)) dx = ∫[0, ∞] e^u (-x^2 du)
现在我们可以进行积分计算了。对于∫e^u (-x^2 du)，我们将 e^u 和 -x^2 视为常数，进行积分运算即可。
∫[0, ∞] e^u (-x^2 du) = -∫[0, ∞] x^2 e^u du
利用指数函数的性质，我们知道 e^u 的不定积分是 e^u。因此，上述积分计算变为：
-∫[0, ∞] x^2 e^u du = -x^2 e^u
我们还需要将积分变量 u 恢复成原来的 x。
由于我们在一开始做了换元 u = x^(-1)，所以要将 u 换回成 x，我们可以取倒数 u^(-1) = x，即 x = 1/u。
将这个关系式代入到 -x^2 e^u = -x^2 e^(1/u) 中，得到新的积分表达式：
-∫[0, ∞] x^2 e^u du = -(-x^2 e^(1/u)) = x^2 e^(1/u)
最后，我们将 u 换回成原来的 x，也就是将 x 替换为 1/u：
x^2 e^(1/u) = (1/u)^2 e^(1/(1/u)) = u^(-2) e^u
综上所述，不定积分 ∫e^(x^(-1)) dx 的结果为 u^(-2) e^u，即 (1/x^2) e^(1/x) + C，其中 C 是常数。

Answer 2

不定积分∫e^(x^(-1)) dx的计算可以通过以下步骤来完成：
首先，我们需要找到一个函数f(x)，使得f'(x) = e^(x^(-1))。
根据指数函数的导数公式，f'(x) = e^(x^(-1))。
接下来，我们需要对f(x)进行不定积分。
不定积分∫e^(x^(-1)) dx = xexp(1/x) - Ei(1/x) + C（其中C是常数）
因此，不定积分∫e^(x^(-1)) dx的结果为xexp(1/x) - Ei(1/x) + C。