积分收敛,被积函数应该有什么特征

Question

如题所述

Answer 1

被积函数 f(x)=cosx/(x²e^x+√x)在区间(0，2]内连续且f(x)>0，但x→0+limf(x)=+∞; 因此可用极限判定法确定此广义积分是否收敛。

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期。

通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。

有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。