已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx，则f(x)=?

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
(1)
两边求导得
f'(x)=2x+∫(0,1)f(x)dx
两边再求导得
f''(x)=2
因此么过来积分得
f'(x)=2x+C1
f(x)=x^2+C1x+C2
代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+C1x+C2]dx
=x^2+x*(x^3/3+C1x^2/2+C2x)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C1/2+C2)
=x^2+Cx
再代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x
再改一下答案：
f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
由于∫(0,1)f(x)dx
是常数，因此令∫(0,1)f(x)dx
＝C
则f(x)=x^2+Cx
反代得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x