函数可微的充分条件的证明？

Question

如题所述

Answer 1

要证明函数在(0,0)点可微的充要条件就是证明f(x,y)-f(0,0)=Ax+By+o(x^2+y^2)^(1/2),即证明lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/(x^2+y^2)^(1/2)=0,实际上只要找到满足条件的A.B存在即可.因此可令y=0,则x趋于0时,lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/(x^2+y^2)^(1/2)=lim[f(x,0)-f(0,0)-Ax]/x的绝对值=fx(0,0)-A=0,所以A=0,同理B=0,故充要条件为lim[f(x,y)-f(0,0)]/(x^2+y^2)^(敞丁搬股植噶邦拴鲍茎1/2)=0

Answer 2

因为△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=[f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0+△y)]+[f(x0,y0+△y)-f(x0,y0)],由一元函数的拉格朗日中值定理得 △f=fx'(x0+a△x,y0+△y)△x+fy'f(x0,y0+b△y)△y 由连续性得 fx'(x0+a△x,y0+△y)=fx'(x0,y0)+c fy'(x0,y0+b△y)=fy'(x0,y0)+d 其中 c d 的极限为0 所以f在点（x0，y0)可微

Answer 3

假设f关于x可导，关于y导数连续。

那么在(x0,y0)首先可以写df1=df/fx|(x0,y0)*dx，然后df2=df/dy|(x0+dx,y0)*dy
df1显然存在。由于df/dy连续，当dx足够小的时候df2也存在，所以就有
df=df1*dx+df2*dy本回答被网友采纳