设锐角三角形ABC的对边分别为a b c，a=2bsinA。(1)求B的大小。(2)求cosA十sinC的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

a=2bsinA则bsinA/a=1/2 2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 由正弦定理，sinB=bsinA/a=1/2由于是锐角三角形，于是B=30`由和差化积公式得，cosA+cosC=2cos[(A+C)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(180-B)/2]*cos[(A-C)/2]=2cos75`cos[(A-C)/2]由于A和C最大不能等于150度，最小不能小于0度，而两个角又不能同时接近于150或同时接近于0度，所以A-C最大不会大于150，最小为0(A=C)所以当A-C=0时，cos[(A-C)/2]=1，此时2cos75`cos[(A-C)/2]有最大值即2cos75`=2cos(45+30)=2(cos45cos30-sin45sin30)=2[(√2/2)*(√3/2)-(√2/2)*(1/2)]=2(√6-√2)/4=(√6-√2)/2≈0.5175当A-C接近于150度时，2cos75`cos[(A-C)/2]接近于2cos75`*cos75`=2*[(√6-√2)/4]*[(√6-√2)/4]=1-√3/2≈0.134也就是说，1-√3/2＜cosA十sinC≤(√6-√2)/2

Answer 2

（1）因为a/b=sinA/sinB,所以sinA=2sinBsinA,又锐角三角形，所以B=30度。(2)C=150度－A,代入化简得3/2cosA＋√3/2sinA,即为√3sin(A＋派/3),由三角形为锐角三角形及角B为30度可算出A的范围是60度到90度，代进去算出范围是（√3/2，3/2）