高等数学微分方程问题

Question

求详解，谢谢大家！！

Answer 1

先求解y''-3y'+2y=0，特征方程是r^2-3r+2=0，根是1,2，所以通解是y=C1*e^x+C2*e^(2x)。
假设y''-3y'+2y=2e^x的特解是Axe^x，代入微分方程，得A=-2，所以特解是-2xe^x。
所以原微分方程是通解是y=C1*e^x+C2*e^(2x)-2xe^x。

曲线y=x^2+x+1在(0,1)处的切线的斜率y'=2x+1=1。
所以微分方程的初始条件是y(0)=1，y'(0)=1。

代入通解，得方程组C1+C2=1，C1+2C2-2=1，得C1=-1，C2=2。
所以，y=y(x)=-e^x+2e^(2x)-2xe^x=-(1+2x)e^x+2e^(2x)。追问

明白了，谢谢，我就是只得出来了C1+C2=1，明白了，谢谢！！！！

Answer 2

解:方程的特征方程为x²-3x+2=0，求得特征根为1和2，故其齐次方程通解为:
丫(x)=C1e^x+C2e^(2x)
用待定系数法，设:
y(x)=C1(x)e^x+C2(x)e^(2x)，代入原方程，整理后得:
[C1”(x)-C1'(x)]e^x+[C2”(x)+C2'(x)]e^(2x)=2e^x
比较系数后有:
C1”(x)-C1'(x)=2 (1)
C2"(x)+C2'(x)=0 (2)
由(2)，有C2'(x)[dC2'(x)/dC2(x)+1]=0
有C2'(x)=0或C2'(x)=-C2(x)+c1
解得C2(x)=c2e^(-x)+c1
由(1)得C1'(x)-C1(x)=2x+a0
得C1(x)=-2x+a2e^x-a1
于是，方程通解为
y=(-2x+c1)e^x+c2e^(2x)
与x²+x+1在(0，1)点切线重合，则y(0)=1，y’(0)=1，于是
c2+c1=1
-2+c1+2c2=1
解得c1=-1，c2=2
于是，y=2e^(2x)-(2x+1)e^x追问

谢谢你，辛苦了！！