如何理解求算方差时的自由度?

Question

样本方差,样本中n个数据与均数的差(离均差)的平方的和(离均差平方和),这个和的平均数(方差).那么为何在算方差时候,要把离均差平方和除以n-1,而不是除以n,.................

Answer 1

1、你可以从该分母为自由度来考虑啊，这个比较直观点。 可以这样想，举个例子：你叫100个人从实数中任意取100个数。很明显，100个人的取数都是自由的。但如果我加上一个条件：100个人取的100个数加起来的和必须为零。这就不同了。第一个人可以随便取，第二个人也可以，……第99个人也可以，到此99个人都还是自由的。但是，第100个人就不能随便自由取数了，他只能取特定的数才能保证这100个数的和为0。所以，加了一个条件就丢了一个自由度。 同理，在样本方差中的离均差的和必须为0，就限制了一个自由度。 2、可以从无偏估计用公式证明：分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，样本方差是总体方差的无偏估计。（比较繁杂）设总体方差为σ2,均值为μ S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n 设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2 E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] =E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2] 而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ2+μ2 E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ2/n+μ2 所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] =n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2) =(n-1)σ2 所以为了保证样本方差的无偏性 S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2 用（n-1）是为了保证样本方差的无偏性

Answer 2

　　一、F=3n-(2p+p)。

　　二、方差分析的简单介绍：

　　方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

　　方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

　　三、方差分析的图示：