两个有界函数的和、差、积还是有界函数吗?

Question

如题所述

Answer 1

两个有界函数的和差积肯定还是有界函数，但是有界函数的商不一定还是有界函数。
设函数f（x）和g（x）是有界函数
有界函数的定义有两种，两种定义是等效的。
证明和差用第一种定义：有界函数始终小于等于上界，大于等于下界。
设a≤f（x）≤b，c≤g（x）≤d
则a+c≤f（x）+g（x）≤b+d，所以和是有界函数。
-d≤-g（x）≤-c
所以a-d≤f（x）-g（x）≤b-c
所以差是有界函数。
证明积用第二种定义：有界函数的绝对值始终小于等于一个正数。
设|f（x）|≤M，|g（x）|≤N
则|f（x）g（x）|≤MN
所以积是有界函数。
f（x）=sinx是有界函数，g（x）=cosx是有界函数。
但是f（x）/g（x）=tanx是无界函数
所以商不一定有界。