不签劳动合同是违法行为，根据相关规定，用人单位不与劳动者签订劳动合同的，应当自签订无固定期限劳动合同之日起每月向劳动者支付工资的两倍。
【法律分析】
公司没有签订劳动合同，当然是违法的。如果现在要补签劳动合同，也可以的。但是要注意一个问题，劳动合同签订日期，这个很重要，最好写补签的时间，而不要写刚到公司工作的时间。劳动关系可以用劳动合同、考勤表、出入证、员工卡、工作证，工友证言等来证明，也包括提到的辞职报告，但这个比较难取得单位领导的签字，而且领导签字也比较麻烦，要证明身份就很困难。用人单位为职工办理社会保险登记主要是用人单位到社会保险经办机构申请办理本单位的社会保险登记的同时，要为其职工申请办理社会保险登记。时间要求是自用人单位用工之日起三十日内申请办理。用人单位已经存在了一定时间，并为其原有职工申请办理了社会保险登记，在其招收录用新的职工后应当自其招录之日起在三十日内为新招录的职工到当地社会保险经办机构申请办理社会保险登记。
【法律依据】
《中华人民共和国劳动合同法》
第十条 建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
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