ç¾åº¦ç¾ç§ä¸çï¼æäºåºè¯å¯ä»¥ç´æ¥å¿½ç¥
æé纳
ååå解æ³çæ¹æ³ç®åæ¥è®²å°±æ¯ï¼åå左边ç¸ä¹çäºäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼å³è¾¹ç¸ä¹çäºå¸¸æ°é¡¹ï¼äº¤åç¸ä¹åç¸å çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°ãå
¶å®å°±æ¯è¿ç¨ä¹æ³å
¬å¼(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abçéè¿ç®æ¥è¿è¡å å¼å解ã
ååå解æ³è½ææäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼ã对äºå½¢å¦ax²+bx+c=(a1x+c1ï¼(a2x+c2ï¼çæ´å¼æ¥è¯´ï¼æ¹æ³çå
³é®æ¯æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå解æ两个å æ°a1,a2ç积a1·a2ï¼æ常æ°é¡¹cå解æ两个å æ°c1,c2ç积c1·c2ï¼å¹¶ä½¿a1c2+a2c1æ£å¥½çäºä¸æ¬¡é¡¹çç³»æ°bï¼é£ä¹å¯ä»¥ç´æ¥åæç»æ:ax²+bx+c=(a1x+c1ï¼(a2x+c2ï¼ãå¨è¿ç¨è¿ç§æ¹æ³å解å å¼æ¶ï¼è¦æ³¨æè§å¯ï¼å°è¯ï¼å¹¶ä½ä¼ï¼å®çå®è´¨æ¯äºé¡¹å¼ä¹æ³çéè¿ç¨ãå½é¦é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1æ¶ï¼å¾å¾éè¦å¤æ¬¡è¯éªï¼å¡å¿
注æå项系æ°ç符å·ãåºæ¬å¼åï¼x²+(p+qï¼x+pq=(x+pï¼(x+qï¼ã
ååç¸ä¹æ³
ä¾é¢è§£æ
2éä¿æ¹æ³ç¼è¾
ä¾ï¼
a²x²+ax-42
é¦å
ï¼æ们çç第ä¸ä¸ªæ°ï¼æ¯a²ï¼ä»£è¡¨æ¯ä¸¤ä¸ªaç¸ä¹å¾å°çï¼åæ¨æåº(a Ã+ï¼ï¼Ã(a Ã+ï¼ï¼ï¼
ç¶åæ们åç第äºé¡¹ï¼+a
è¿ç§å¼åæ¯ç»è¿å并å类项以åå¾å°çç»æï¼æ以æ¨æåºæ¯ä¸¤é¡¹å¼Ã两项å¼ã
åçæåä¸é¡¹æ¯-42
ï¼-42æ¯-6Ã7 æè
6Ã-7ä¹å¯ä»¥å解æ -21Ã2 æè
21Ã-2ã
é¦å
ï¼21å2æ 论æ£è´ï¼éè¿ä»»æå ååé½ä¸å¯è½æ¯1ï¼åªå¯è½æ¯-19æè
19ï¼æ以æé¤åè
ã
ç¶åï¼åç¡®å®æ¯-7Ã6è¿æ¯7Ã-6ã
(aÃ-7ï¼Ã(aÃ+6ï¼=a²x²-ax-42(计ç®è¿ç¨çç¥ï¼
å¾å°ç»æä¸åæ¥ç»æä¸ç¸ç¬¦ï¼åå¼+a
åæäº-aã
åç®ï¼
(aÃ+7ï¼Ã(aÃ+(-6ï¼ï¼=a²x²+ax-42
æ£ç¡®ï¼æ以a²x²+ax-42就被å解æ为(ax+7ï¼Ã(ax-6ï¼ï¼è¿å°±æ¯éä¿çååå解æ³å解å å¼ã
3ä¾é¢è§£æç¼è¾
ä¾1
æ2x²-7x+3å解å å¼.
åæï¼å
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼åå«åå¨åå交å线çå·¦ä¸è§åå·¦ä¸è§ï¼åå解常æ°é¡¹ï¼å
å«åå¨åå交å线çå³ä¸è§åå³ä¸è§ï¼ç¶å交åç¸ä¹ï¼æ±ä»£æ°åï¼ä½¿å
¶çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°.
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°(åªåæ£å æ°
å 为åè´å æ°çç»æä¸æ£å æ°ç»æç¸åï¼ï¼ã
2=1Ã2=2Ã1ï¼
å解常æ°é¡¹ï¼
3=1Ã3=3Ã1=(-3)Ã(-1)=(-1)Ã(-3).
ç¨ç»åå交å线æ¹æ³è¡¨ç¤ºä¸ååç§æ
åµï¼
1 3
â³
2 1
1Ã1+2Ã3=7
â -7
1 1
â³
2 3
1Ã3+2Ã1=5
â -7
1 -1
â³
2 -3
1Ã(-3)+2Ã(-1)=-5
â -7
1 -3
â³
2 -1
1Ã(-1)+2Ã(-3)=-7
ç»è¿è§å¯ï¼ç¬¬åç§æ
åµæ¯æ£ç¡®çï¼è¿æ¯å 为交åç¸ä¹åï¼ä¸¤é¡¹ä»£æ°åæ°çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°-7ã
解
2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
é常å°ï¼å¯¹äºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax²+bx+c(aâ 0)ï¼å¦æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³a=a1a2ï¼å¸¸æ°é¡¹cå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³c=c1c2ï¼æa1ï¼a2ï¼c1ï¼c2ï¼æåå¦ä¸ï¼
a1 c1
â³
a2 c2
a1c2 +
a2c1
ææ线交åç¸ä¹ï¼åç¸å ï¼å¾å°a1c2+a2c1ï¼è¥å®æ£å¥½çäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax²+bx+cçä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°bï¼å³a1c2+a2c1=bï¼é£ä¹äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å°±å¯ä»¥å解为两个å å¼a1x+c1ä¸a2x+c2ä¹ç§¯ï¼å³
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
åè¿ç§åå©ç»åå交å线å解系æ°ï¼ä»è帮å©æ们æäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼çæ¹æ³ï¼é常å«åååå解æ³.
ä¾2
æ5x²+6xy-8y²å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼å¯ä»¥çä½æ¯å
³äºxçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼æ-8y²çä½å¸¸æ°é¡¹ï¼å¨å解äºæ¬¡é¡¹å常æ°é¡¹ç³»æ°æ¶ï¼åªéå解5ä¸-8ï¼ç¨åå交å线å解åï¼ç»è¿è§å¯ï¼éååéçä¸ç»ï¼å³
1 2
â³
5 -4
1Ã(-4)+5Ã2=6
解
5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
æåºï¼åå¼å解为两个å
³äºxï¼yçä¸æ¬¡å¼ã
ä¾3
æ(x-y)(2x-2y-3ï¼-2å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼æ¯ä¸¤ä¸ªå å¼ä¹ç§¯ä¸å¦ä¸ä¸ªå æ°ä¹å·®çå½¢å¼ï¼åªæå
è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®ï¼æåå½¢åçå¤é¡¹å¼åå å¼å解ã
é®ï¼ä»¥ä¸ä¹ç§¯çå å¼æ¯ä»ä¹ç¹ç¹ï¼ç¨ä»ä¹æ¹æ³è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®æç®ä¾¿?
çï¼ç¬¬äºä¸ªå å¼ä¸çå两项å¦ææåºå
¬å å¼2ï¼å°±å为2(x-y)ï¼å®æ¯ç¬¬ä¸ä¸ªå å¼çäºåï¼ç¶åæ(x-yï¼çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡ä¹æ³è¿ç®ï¼å¯æåå¤é¡¹å¼å形为å
³äº(x-yï¼çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼å°±å¯ä»¥ç¨ååå解æ³å解å å¼äºã
解
(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
â³
2 1
1Ã1+2Ã(-2ï¼=ï¼3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
æåºï¼å°å
xãyæ¢æï¼x+yï¼ï¼ä»¥ï¼x+yï¼ä¸ºå
ï¼è¿å°±æ¯âæ¢å
æ³âã
4æå¦é¾ç¹ç¼è¾
é¾ç¹ï¼çµæ´»è¿ç¨ååå解æ³å解å å¼ã
5åçç¼è¾
ä¸ä¸ªéåä¸ç个ä½ï¼åªæ2个ä¸åçåå¼ï¼é¨å个ä½åå¼ä¸ºAï¼å©ä½é¨ååå¼ä¸ºBãå¹³åå¼ä¸ºCãæ±åå¼ä¸ºAç个ä½ä¸åå¼ä¸ºBç个ä½çæ¯ä¾ãå设æ»é为Sï¼
Aæå çæ°é为Mï¼B为S-Mã
åï¼[A*M+B*(Sï¼Mï¼]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
å æ¤ï¼M/Sâ¶(1-M/Sï¼=(C-Bï¼â¶(A-C)
ä¸é¢ç计ç®è¿ç¨å¯ä»¥æ½è±¡ä¸ºï¼
A ^C-B
^C
B^ A-C
è¿å°±æ¯æè°çååå解æ³ãXå¢å ï¼å¹³åæ°CåAåï¼A-C(æ¯ä¸ªAç»Bçå¼ï¼åå°ï¼C-B(æ¯ä¸ªBè·å¾çå¼ï¼å大ï¼ä¸¤è
å¦ä¸ç¸é¤=æ¯ä¸ªBå¾å°å 个Aç»çå¼ãå³æ¯ä¾ï¼ä»¥ååå解æ³å½¢å¼å±ç°æ´å æ¸
æ°ã
6æå¦éç¹ç¼è¾
éç¹ï¼æ£ç¡®å°è¿ç¨ååå解æ³ææäºäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼ã
7å¤å®ç¼è¾
对äºå½¢å¦ax²+bx+cçå¤é¡¹å¼ï¼å¨å¤å®å®è½å¦ä½¿ç¨ååå解æ³å解å å¼æ¶ï¼å¯ä»¥ä½¿ç¨Î=b²-4acè¿è¡å¤å®ãå½Î为å®å
¨å¹³æ¹æ°æ¶ï¼å¯ä»¥å¨æ´æ°èå´å¯¹è¯¥å¤é¡¹å¼è¿è¡ååç¸ä¹ã
8å
·ä½åºç¨ç¼è¾
åååå解æ³æ¯ä¸ç§å å¼å解æ¹æ³ã对äºåå¦
Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F
çå¤é¡¹å¼çå å¼å解ï¼å¸¸éç¨çæ¹æ³æ¯å¾
å®ç³»æ°æ³ãè¿ç§æ¹æ³è¿ç®è¿ç¨è¾ç¹ã对äºè¿é®é¢ï¼è¥éç¨âåååå解æ³â(主å
æ³ï¼ï¼å°±è½å¾å®¹æå°æ¤ç±»åçå¤é¡¹å¼å解å å¼ã
ä¾ï¼3x²;+5xyï¼2y²;+x+9yï¼4=(x+2yï¼1ï¼(3xï¼y+4ï¼
å 为3=1Ã3ï¼ï¼2=2Ã(ï¼1ï¼ï¼ï¼4=(ï¼1ï¼Ã4ï¼
è1Ã(ï¼1ï¼+3Ã2=5ï¼2Ã4+(ï¼1ï¼(ï¼1ï¼=9ï¼1Ã4+3Ã(ï¼1ï¼=1
è¦è¯ï¼æ缺å°çä¸é¡¹å½ä½ç³»æ°ä¸º0ï¼0ä¹ä»»ä½æ°å¾0ï¼
ä¾ï¼ab+b²+aï¼bï¼2
=0Ã1Ãa²+ab+b²+aï¼bï¼2
=(0Ãa+b+1ï¼(a+bï¼2ï¼
=(b+1ï¼(a+bï¼2ï¼
æ示ï¼è®¾x²=yï¼ç¨æ项æ³æcx²ææmx²ä¸nyä¹åã
ä¾ï¼2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1ï¼(y+5x+2ï¼
=(2x²+3x+1ï¼(x²+5x+2ï¼
=(x+1ï¼(2x+1ï¼(x²+5x+2ï¼
å解äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼æ¶ï¼æ们常ç¨ååå解æ³ï¼å¯¹äºæäºäºå
äºæ¬¡å
项å¼(ax²+bxy+cy²+dx+ey+fï¼ï¼æ们ä¹å¯ä»¥ç¨ååå解æ³å解å å¼ã
ä¾å¦ï¼å解å å¼2x²-7xy-22y²-5x+35y-3ï¼æ们å°ä¸å¼æxéå¹æåï¼å¹¶æyå½ä½å¸¸æ°ï¼äºæ¯ä¸å¼å¯å形为
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3ï¼ï¼
å¯ä»¥çä½æ¯å
³äºxçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼
对äºå¸¸æ°é¡¹èè¨ï¼å®æ¯å
³äºyçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼ä¹å¯ä»¥ç¨ååå解æ³ï¼å解为
å³
-22y²+35y-3=(2y+3ï¼(-11y-1ï¼ï¼
åå©ç¨ååå解æ³å¯¹å
³äºxçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解
æ以
åå¼=ãx+(2y-3ï¼ãã2x+(-11y+1ï¼ã
=(x+2y-3ï¼(2x-11y+1ï¼ï¼
(x+2yï¼(2x-11y)=2x2-7xy-22y2ï¼
(x-3ï¼(2x+1ï¼=2x2-5x-3ï¼
(2y-3ï¼(-11y+1ï¼=-22y²+35y-3ï¼
è¿å°±æ¯æè°çåååå解æ³ï¼ä¹æ¯ä¿ç§°çâ主å
æ³â
ç¨åååå解æ³å¯¹å¤é¡¹å¼ax²+bxy+cy²+dx+ey+fè¿è¡å å¼å解çæ¥éª¤æ¯ï¼
â´ç¨ååå解æ³å解ax²+bxy+cy²ï¼å¾å°ä¸ä¸ªååç¸ä¹å¾(æ两åï¼ï¼
âµæ常æ°é¡¹få解æ两个å å¼å¡«å¨ç¬¬ä¸åä¸ï¼è¦æ±ç¬¬äºã第ä¸åææçåå交åä¹ç§¯çåçäºåå¼ä¸çeyï¼ç¬¬ä¸åã第ä¸åææçåå交åä¹ç§¯çåçäºåå¼ä¸çdxï¼
æ们æå½¢å¦anx^n+a(n-1ï¼x^(n-1ï¼+â¦+a1x+a0(n为éè´æ´æ°ï¼ç代æ°å¼ç§°ä¸ºå
³äºxçä¸å
å¤é¡¹å¼ï¼å¹¶ç¨f(xï¼ï¼g(xï¼ï¼â¦çè®°å·è¡¨ç¤ºï¼å¦
f(x)=x²-3x+2ï¼g(x)=x^5+x²+6ï¼â¦ï¼
å½x=aæ¶ï¼å¤é¡¹å¼f(xï¼çå¼ç¨f(aï¼è¡¨ç¤ºï¼å¦å¯¹ä¸é¢çå¤é¡¹å¼f(x)
fâ´=12-3Ã1+2=0ï¼
f(-2ï¼=(-2ï¼²-3Ã(-2ï¼+2=12ï¼
è¥f(a)=0ï¼å称a为å¤é¡¹å¼f(xï¼çä¸ä¸ªæ ¹ï¼
å®ç1(å å¼å®çï¼
è¥aæ¯ä¸å
å¤é¡¹å¼f(xï¼çæ ¹ï¼å³f(a)=0æç«ï¼åå¤é¡¹å¼f(xï¼è³å°æä¸ä¸ªå å¼x-aï¼
æ ¹æ®å å¼å®çï¼æ¾åºä¸å
å¤é¡¹å¼f(xï¼çä¸æ¬¡å å¼çå
³é®æ¯æ±å¤é¡¹å¼f(xï¼çæ ¹ï¼å¯¹äºä»»æå¤é¡¹å¼f(xï¼ï¼è¦æ±åºå®çæ ¹æ¯æ²¡æä¸è¬æ¹æ³çï¼ç¶èå½å¤é¡¹å¼f(xï¼çç³»æ°é½æ¯æ´æ°æ¶ï¼å³æ´ç³»æ°å¤é¡¹å¼æ¶ï¼ç»å¸¸ç¨ä¸é¢çå®çæ¥å¤å®å®æ¯å¦ææçæ ¹ã
ææ ·è¿è¡å解å å¼
ä¾ 7x + (-8x)
=-x
解ï¼åå¼=ï¼x+7ï¼ï¼x-8ï¼
ä¾2
-2x+ï¼-8xï¼=-10x
解ï¼åå¼=ï¼x-2ï¼ï¼x-8ï¼
ä¾3ã
åæï¼è¯¥é¢è½ç¶äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ä¸ä¸º1ï¼ä½ä¹å¯ä»¥ç¨ååå解æ³è¿è¡å å¼å解ã
å 为
9y +
10y=19y
解ï¼åå¼=ï¼2y+3ï¼ï¼3y+5ï¼
ä¾4ã
å å¼å解ã
åæï¼å 为
21x +
(-18x)=3x
解ï¼åå¼=ï¼2x+3ï¼ï¼7x-9ï¼
ä¾5ã
å å¼å解ã
åæï¼è¯¥é¢å¯ä»¥å°ï¼x+2ï¼çä½ä¸ä¸ªæ´ä½æ¥è¿è¡å å¼å解ã
å 为
-25ï¼x+2ï¼+[-4(x+2)]= -29ï¼x+2ï¼
解ï¼åå¼=[2ï¼x+2ï¼-5][5ï¼x+2ï¼-2]
=ï¼2x-1ï¼ï¼5x+8ï¼
ä¾6ãå å¼å解ã
åæï¼è¯¥é¢å¯ä»¥å
å°ï¼ï¼çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡ååå解æ³å解ï¼æ¥çåå¥ç¨ä¸æ¬¡ååç¸ä¹ã
å 为
-2+[-12]=-14 a +
(-2a)=-a 3a +ï¼-4aï¼=-a
解ï¼åå¼=[-2][
-12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
9注æäºé¡¹ç¼è¾
第ä¸ç¹ï¼ç¨æ¥è§£å³ä¸¤è
ä¹é´çæ¯ä¾é®é¢ã
第äºç¹ï¼å¾åºçæ¯ä¾å
³ç³»æ¯åºæ°çæ¯ä¾å
³ç³»ã
第ä¸ç¹ï¼æ»åå¼æ¾ä¸å¤®ï¼å¯¹è§çº¿ä¸ï¼å¤§æ°åå°æ°ï¼ç»ææ¾å¨å¯¹è§çº¿ä¸ã
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