高中数学讨论函数单调性问题

Question

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Answer 1

解：∵显然f(-x)=-f(x) f(0)=0
∴f(x)为奇函数,只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可
任取x1,x2,0<x1<x2<1
那么f(x1)-f(x2)=a[x1/(1-x1^2)-x2/(1-x2^2)]
=a*[(x1-x2)(1+x1x2)/(1-x1^2)(1-x2^2)]
∵[(x1-x2)(1+x1x2)/(1-x1^2)(1-x2^2)]<0
故：
当a>0时,f(x1)<f(x2),即f(x)在(-1,1)上单调递增
当a<0时,f(x1)>f(x2),即f(x)在(-1,1)上单调递减

点评：考查用定义证明函数单调性，本题用导数法会更为简单