我的思路是这样的：先将1+2+...+n求和，这是高中等差数列的知识，不过若果你小学学过奥林匹克数学的话应该不成问题，其结果是n(n+1)/2，n与n+1互质，因此n与n+1/2互质（*）。利用n是正奇数的条件，恒有a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…-ab^(n-2)+b^(n-1))，将1^n+2^n+...+n^n求和首尾对称地组合，中间只剩一项(n+1/2)^n，其他每一个组合都能分解出一个(n+1)，因此上述和式是能够被(n+1/2)整除的；另外如果将1^n与(n-1)^n，2^n与(n-2)^n等等组合，只剩下n^n，其他每一个组合都能分解出一个n，因此上述和式又能被n整除。现在利用结论（*），可以得到该和式能被n(n+1)/2也就是1+2+...+n整除，这是初等数论中的一个定理。
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