本单元主要研究指数函数与对数函数的定义、图象、性质，对数换底公式，并研究简单的指数方程和对数方程的一些解法．
指数（对数）函数的教学可按下列程序进行：1．以实际问题`引入指数（对数）函数概念；定义的引入可经过“实际问题 与幂（指数）函数比较 对底数a的讨论”三步完成．让学生体会到新概念的引入，往往是为了解决实际问题和理论问题，而且往往经历由感性到理性的抽象概括过程．2．通过图象研究指数（对数）函数的性质；函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生观察归纳函数的性质和变化规律，它是培养学生观察和归纳能力以及数形结合能力的极好时机．3通过多种方式记忆指数（对数）函数性质，掌握指数（对数）函数的图象和性质是本单元学习的重点．列表由学生填空：
指数函数的图象和性质
定 义
图 象
定义域
值 域
奇偶性
单 调 性
y=ax
(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
x∈R
y∈R+
非奇非偶
a＞1，增 0＜a＜1，减
关键点
数 值 变 化
(0,1)
（对数函数的图象性质也可列表）．
学生对于数值变化这条性质不容易记住，也容易混淆，教学时根据图形特征，找出规律，是对学生记忆能力的一种培养．
对数的学习要抓住指教与对数的关系这一关键，理解logaN=b和ab=N是a、b、N三个量的同一关系的不同表示形式，这是学习对数性质和运算法则的关键．
换底公式的主要用途是将非同底的对数问题转化为同底的对数问题来解决．换底公式在对数运算与含有对数的等式的证明中都起着重要的作用．
指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求学会解一些简单的特殊类型的指数方程和对数方程，这里解这些方程的基本思想是将指数方程和对数方程转化为代数方程来求解．在解对数方程时，一定要注意验根．
【指点迷津】
在指数函数与对数函数定义中规定y=ax与y=logax中底数a＞0，且a≠1，这是因为，只有在a＞0，且a≠1条件下，才能保证ax永远有意义，才能保证y=ax与y=logax互为反函数．
学习指数函数与对数函数要牢固掌握指数函数与对数函数的图象特征，关键点的位置及曲线的走向，结合图象熟练掌握函数性质，其中指数函数与对数函数的单调性是最重要的性质之一
二、学海导航
【思维基础】
熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是本单元的重点．
请完成下列题目：
1．比较下列各组数的大小：
(1) 与； (2) 与；
(3)与log25； (3)与；
2．比较下列各组数的大小，用“＜”连接：
(1) (0.6)0.2，，；
(2)3-0.2，30.2，-0.3
(3) ，，．
3．解下列各题：
（1）函数f(x)=(a2－1)x在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是 （ ）
A.| a |＞1 B.| a |＞2
C. a＞ D. 1＜| a |＜
（2）已知loga＜1，那么a的取值范围是（ ）
A. 0＜a＜ B. a＞
C. ＜a＜1 D.0＜a＜，或a＞1
（3）函数y=ax与y=-logax (a＞0且a≠1)在同一坐标系中的图象只能是（ ）
（4）设log82=P，log85=q，那么用p，q表示lg5的式子是（ ）
（A）pq （B） （C） （D）
4．解下列方程：
(1)()x=91－x； (2)4x+6x=2×9x；
(3)8·2x=； (4)log(x+2)(x2+4)=2；
(5)lgx+lg(x2－4)=lg3+lg(x+2)； (6)2log4x+2logx4=5．
答案：1.（1）＜； (2)＜； (3)＜； (4)＜．
2．(1)＜＜(0.6)0.2；
(2)3-0.2＜30.2＜-0.3；
(3)log3＜log()5＜log2；
3．(1)D； (2)D； (3)A； (4)B．
4．(1)x=-2； (2)x=0； (3)x=-3或x=3+log32；
(4)x=0； (5)x=3； (6)x=2或x=16．
【学法指要】
例1．(1)当a＞1时，在同一坐标系中函数y=a-x与y=logax的图象是（ ）
（2）若loga2＜logb2，则 （ ）
A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1
C. a＞b＞1 D. b＞a＞1
分析：指数函数与对数函数的图象必须牢固掌握，要在理解的基础上记住以下图形：
其中a1＞a2＞1，0＜a3＜a4＜1，a1＞a2＞1其中0＜a3＜a4＜1
由图象可知：（1）A； （2）B．
例2．求函数y=lg(ax－k 2x) (a＞0，且a≠1)的定义域．
解：由ax－k 2x＞0,得ax＞k2x．
即 ()x＞k
（1）当k≤0时，定义域为R；
（2）若K＞0，则(i)当a＞2时，定义域为x＞；
(ii)当0＜a＜2时，定义域为x＜；
(iii)当a=2时，且0＜k＜1时，定义域为R；
当a=2时，且k≥1时，定义域为φ，即函数无意义．
说明：解含参数的对数问题时，因对数的底不同，增减性便不同，故应讨论这些参数的取值范围．
例3．求函数y=log(3+2x－x2)的单调区间，及其值域．
解：由3+2x－x2＞0求得函数的定义域为（-1，3）．
设t=3+2x－x2(t＞0)，因为y=logt(t＞0)为减函数，而t=-(x－1)2+4，在x∈（-1, 1]上递增，在x∈[1,3）上递减，所以函数y=log(3+2x－x2)的增区间为[1,3）而减区间为（-1，1]；由t=-（x－1）2+4≤4（当x=1时，等号成立），又t＞0，所以t∈（0, 4]．于是函数y=logt的值域为y∈[-2, +∞），即函数y=log(3+2x－x2)的值域为y∈[-2, +∞]．
说明：求对数函数的单调区间及值域时，应先求定义域，只有在定义域上求其单调区间和研究其值域时，问题才能正确解决．
例4．若x∈（0，1），试比较| loga(1－x) |与| loga(1+x) |的大小．
分析：思路（一）：差值比较法．
令 f(x)= loga(1－x) |－| loga(1+x) |，其中0＜x＜1，当a＞1时，f(x)=loga(1－x2)＞0；当0＜a＜1时，f(x)=loga(1－x2)＞0，总之有| loga(1－x) |＞| loga(1+x) |（0＜x＜1）成立．
思路（二）：商值比较法．
因为0＜x＜1，所以 | |=| log(1+x)(1－x) |=- log(1+x)(1－x)
=log(1+x)= log(1+x)=1－log(1+x)＞1
∴ | loga(1－x) |＞| loga(1+x) |
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