正交小波级数和正交小波变换

Question

如题所述

Answer 1

6.6.5.1 正交小波级数

上述讨论的MRA包含了多尺度逼近的内容，若｛φ（t-k）｝是标准平移正交的Riesz基，即＜φ（t-k），φ（t-l）＞=δ_k，l（t），推出｛φ_j，k（t）｝也是标准平移正交的Riesz基，则近似函数的组合系数可以表示为

地球物理信息处理基础

式中系数c_j，k=＜f^j，φ_j，k＞=＜f，φ_j，k＞。此时，由MRA所确定的小波子空间具有良好的性质，由MRA所确定的小波级数具有简捷的表达式。

我们先给出标准正交小波基的定义，所谓的标准正交小波基是指

地球物理信息处理基础

其中j、j′、k、k′∈Z，标准正交小波基与它的对偶相同，即

。

在这里，由于：（1）V_j的基函数｛φ_j，k（t）｝关于平移指标k是标准正交的；（2）W_j的基函数｛ψ_j，k（t）｝关于尺度指标j和平移指标k是标准正交的；（3）V_j-1=V_j⊕W_j，V_j⊥W_j，j∈Z；（4）｛ψ_j，k（t）｝，j，k∈Z是L²（R）的标准正交基。故，f（t）∈L²（R）可展开为正交小波级数，即

地球物理信息处理基础

6.6.5.2 正交小波变换

上述实质上表明了当尺度函数φ（t）是标准正交基时，是MRA的一种表现形式，所以仍然可以从理解MRA的角度来理解正交小波级数。在MRA框架下，正交小波分解关系具体表示如下：

图6-18 正交小波分解关系示意图

（1）观察V_j➝f（t）∈L²（R），f^j（t）➝f（t），这是多尺度逼近。随着j指标的减小，信号f^j（t）无论是在时域还是在频域中的表现都会逼近f（t）；反之，随着j指标的增大，采样间隔增大，f^j（t）所表现的频率范围减小，低频量突出，信号表现为“粗糙”、“模糊”和“平缓”。在正交小波级数中，由于基函数｛φ_j，k（t）｝的正交性，f^j（t）的展开系数为

c_j，k=＜f，φ_j，k＞

这是低通函数φ_j，k（t）的积分变换，但核函数φ_j，k（t）不是小波函数，故它不是连续小波变换。

（2）观察V_j-1=V_j⊕W_j，V_j⊥W_j。因为V_j是V_j-1中的低频表现部分，V_j的频率范围仅是V_j-1的一半，W_j是V_j的正交补，是V_j-1的频带部分。可以认为，V_j表现了V_j-1的“概貌”，W_j表现了V_j-1的“细节”。这正是我们在“多分辨率分析的基本思想”中所提到的。这种细节的时域表现形式是δ^j（t），由于｛ψ_j，k（t）｝的正交性，其展开系数为

d_j，k=＜f，ψ_j，k＞

这是由带通函数ψ_j，k（t）表现的积分变换，也就是连续小波变换。在正交小波分解以及相应的小波变换中，常取式（6-38），这种离散正交小波变换对实际计算与应用带来很多方便。