什么是可导？什么是可微？

Question

如题所述

Answer 1

可导函数一定是可微的。可导性是微分学的一个概念，它指的是函数在某个点处的导数存在，也就是该点上函数图像存在切线。可微性也是微分学的一个概念，它指的是函数在一个点处的微分存在，也就是该点附近的函数增量可以表示为一个线性函数关于增量的表达式。从定义上看，如果一个函数在某个点处是可导的，那么该点上一定存在导数，因此这个函数也是可导的。所以，可导一定可微。
进一步来说，可导性比可微性更加强一些，因为可微性比可导性多了一些约束条件。如果一个函数是可微的，那么它一定是连续的。但是，可导性不一定能够保证函数的连续性。例如在绝对值函数的原点处，该函数不是可导的，但是它在该点上是可微的。
因此，可微性是可导性的一种更强的形式。在微积分和数学中，这两个概念经常被一起使用，但也存在一些微小的差异。不过，在实际应用中，两个概念经常是可以互换使用的，这表示我们可以用相同的概念和可行的技巧来描述它们，进一步推广我们对于微分学的理解。
总的来说，如果一个函数在某个点处是可导的，那么这个函数一定是可微的。然而，可微性比可导性更严格一些，因为可微性要求函数在某个点处不仅仅有导数，还必须满足一定的连续性约束。这些概念和限制都对微积分和数学的理解和应用有着重要的意义，也将会在我们的学习中经常用到。