若三阶方阵A的秩为2,三阶方阵B的秩为3,且AxB的秩一定为2吗?

Question

如题所述

Answer 1

是的,AB的秩一定为2
由秩的不等式可以知道,
r(A)+r(B) -n ≤r(AB)
所以2+3-3=2 ≤r(AB)
即2 ≤r(AB)
而r(AB)一定小于等于r(A)和r(B)中的最小值,
所以r(AB)≤ r(A) =2
故2 ≤r(AB)≤ 2
所以AB的秩一定为2