怎么用定积分和微积分基本定理推导球的表面积公式？

Question

用微积分的基本定理推导球的表面积公式，我的方法如下：设球的半径为r，以球面任意大圆为水平面，只考虑半球的表面积，很显然这是若干相互平行的小圆周长在半径属于区间[0,r]上的定积分设半球内一点到水平面距离为x，f(x)为过这个点且与水平面平行的小圆的周长，显然有f(x) = 2π* (r^2 - x^2)^1/2,半球表面积S = ∫[0,r] f(x) dx （我实在不会把0和r打成上下排列） = F(r) - F(0), 其中F(x) =4/3 π * (r^2 - x^2)^3/2解得S = 0 - 4/3π * r^3 = -4/3 π * r^3.这个答案显然是错误的，但我实在不知道错误出在哪儿，有谁能告诉我正确的解答，谢谢！

Answer 1

f(x) = √(r² - x²)

the formula for the surface area rotated about the x-axis is

S = 2π ∫[-r,r] f(x) √(1 + f'(x)²) dx

f '(x) = -x/√(r² - x²)

thus

√(1 + [f'(x)]²) = √(1 + x²/(r²-x²))

= √(r²/(r²-x²))

= r/√(r^2 - x^2)

thus

S = 2π ∫[-r,r] r dx

= 2π (rx) ... from -r to r

= 2π r (2r)

= 4π r²

另外：这里 http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=141006 ;有一个人犯了和你同样的错误，你可以参考一下

另外的解法：

1  v=∫[0,r] A( r) dr  ,v是体积

2  看这里：http://mathforum.org/library/drmath/view/64542.html ;

另外：公式

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