求不定积分和定积分时总是不能积出原函数

Question

如题所述

Answer 1

我当时为了练积原函数这个技巧，不仅把书上的题都做了个遍，还练了吉米多维奇习题集里不定积分那块求原函数的题。那里面的题有些确实有难度，那个都会了不定积分就不怕积不出原函数了。

要快速积出来首先得牢记所有初等函数的导数和原函数各是多少，容易忘记的是普通指数函数、反三角函数以及三角函数里正余切和正余割。另外还需要记住一些比较常出现的函数的导数，比如 sqrt (1+x^2)的导数是 x / [2sqrt(1+x^2)]，这个貌似在吉米多维奇里有很多。

其次有些形式的原函数基本上一看就知道要用分部积分的，比如指数、三角、幂函数以及对数函数这些函数乘起来作为原函数的时候就要记得用。用的时候注意找规律，因为有时候不是用一次分部积分就够了。另外对有理分式求原函数这些，公式和方法就要牢记。

再次就是通过大量做题把眼力练好点儿，因为许多时候要用到换元法积分，要做到看到被积函数就能马上想到所有可能的把dx变成d(f(x))的情况。正常来说首先考虑的积分方法就是换元，因为它是最快的方法，所以你只有眼力练好了才能马上在第一时间里反应过来。直接换元没法搞定了才用前面说的方法。另外，还有一种换元不是靠观察得到，而是出于化简被积函数目的的。这种类型的换元比较直观，比如你一看到根号下x+1，肯定得先考虑考虑 t = sqrt (x+1)，这样就能把不容易积的函数化成你熟悉的函数来积。

最后就是比较诡异的类型了，用到些技巧，有的要用完全平方公式变变形，有的要分母或者分子有理化，有的求定积分的题甚至无法直接算原函数，还要用放缩的办法来证明，有的看似积不出来的函数（我记得好像是exp(-x^2/2)sin(x)之类）诡异地先用分部积分，到最后可以发现会出来一项正好和原不定积分符号相反的项，于是移项来求原不定积分（类似设而不求的思想）。这些没什么特别的规律，题做多了就慢慢有手感了。

Answer 2

用现有方法难以找到原函数的函数有很多，比如
f(x)=e^(x^2);
f(x)=x/sinx等等

至于如何求不定积分，通常用第一换元法，遇到带有根式的或者三角函数的题目可以考虑第二换元积分法。当积分部分易求出导数但难以找到原函数时，可以考虑分部积分法。
还有有理多项式总可以通过待定系数法转化为已知的低次有理多项式之和，三角函数的有理式和部分带根号的式子可以通过换元转化为有理多项式求积分。

以上是不定积分的基本方法，希望楼主能通过多做习题进一步熟悉，相信你可以学得更好。至于定积分，通过牛顿莱布尼茨公式即可，特殊情况可以考虑用定义计算。

纯手打，希望对楼主有所帮助，望采纳！

Answer 3

定积分的题有的不一定需要积出原函数的。
但是不定积分就一定要了。
这部分没办法，只能多做题。我大学毕业很久了，很多课都忘了，但是不定积分那节课，老师一上来就对我们说“不定积分不是看会的，是做会的！”。总之就是要多做题，别无他法。
建议做题同时，把书后的不定积分表背下来。真的很有用。本回答被网友采纳

Answer 4

f(x)=e^(-t²)

Answer 5

多做点题吧！看看例题！激发灵感