第1个回答 2022-06-09
前几天有几位朋友说薛定谔的方程式是怎么来的，这里我以我的思路来简单地推导出薛定谔的方程，其实推导有几种方法，不过我比较喜欢这种推导形式，我觉得这看起来比较直观，我们知道既然ψ（x，t）是波函数，那么它应该满足一个波动方程，薛定谔在非相对论情况下得到了一个ψ（x，t）所应满足的方程，称为薛定谔方程，利用自由电子的平面波函数ψ（x，t）＝Aexp（ikx-iωt），我们尝试得到薛定谔方程，先对时间求导一次得：aψ/at＝-iωψ＝-iEψ/h（普朗克的角频率转化而来的）。
我们再对空间取二阶导数，并利用拉普拉斯算符▽²（读成Nebla也行）及德布罗意关系p＝hk（这公式的来源非常简单，是p＝nh/λ），得：▽²ψ＝-p²ψ/h²利用非相对论能动关系我们又有：E＝p²/2m（这个公式非常重要，用动能和动量的关系来自己推导出来吧，非常简单）得：-h²▽²ψ/2m＝ih.аψ/аt这就是自由电子遵从的方程，设外加势场为U（x，t），导出一般形式的薛定谔方程有：E＝p²/2m＋U（x，t），得：ihаψ/аt＝（-h²▽²/2m＋U）ψ＝Hψ这就是含时薛定谔方程，其中H称为哈密顿算符，当外场不随时间而变时其波函数可写为Ψ（x，t）＝ψ（x）f（t），代入薛定谔方程中：-h²▽²ψ（x）/2m＋Uψ（x）f（t）＝ihdf/dt用ψ（x）f（t）遍除上式各项，得：［-h²▽²ψ（x）/2m＋U（x）ψ（x）］/ψ（x）＝（ih/f）（df/dt）此式左边只是空间坐标的函数，看右边的话它只是时间坐标的函数，两者相等要求等于同一个常数记为E
有：（ih/f）df/dt＝E这个方程的通解为f（t）＝exp（-iEt/h），可见E具有能量量纲，正是系统能量的可能取值。第二个方程即为Hψ＝Eψ称为定态薛定谔方程，可见，当外场不随时间变化时Ψ（x，t）＝ψ（x）exp（-iEt/h），这样的状态称为定态，定态解重要的是ψ（x），而exp（-iEt/h）只是一个相因子，不改变模长，因此系统的概率分布不随时间而变，这正是定态的意义，常将ψ（x）称为定态波函数，但ψ本身指的是概率幅！