第1个回答 2022-07-21
(2022.06.22 Wed)
Markowitz在20世纪50年代引进了均值-方差模型成了现代证券组合理论的基石。
在该理论中通常有 n 种标的可投，每种标的的收益率可以看做是随机变量，记为 ，相应的均值为 ，方差记为 ， 和 的相关系数记作 。
一个假定是，投资者追求高收益而规避风险，或者有高均值而无大的方差。但经验告诉我们高收益总是伴随高风险。根本解决方案在于通过证券组合(portfolio)，即资金分散于各种证券，用于分散风险。
基于上面分析，设 n 种标的的资金比例分别为 ，有
总的收益率是
因此平均收益率为
方差为
一般来说， 远小于 ，也就是说分散投资之后的风险显著降低。若充分分散化，比如 ，则有
如果大部分标的不相关或弱相关，则上式可以简化成
根据前面推导结果，计算 最小情况下的 ，就可以确定不同标的在如何搭配时风险最小。这是一个线性约束下饿二次规划问题。
这里我们计算一种特例，即只有两种标的下的持有比例。在分析之前，首先回顾一下期望、方差、协方差这几个概念。
假定两只投资标的的波动率(volatility)/标准差(standard deviation)分别为 ，求两只标的怎样持有才能保证风险最小。
推导过程：
有 ，相关系数为 默认为0，求两个标的上分配的资金比例 。
portfolio只有两个标的，于是有
组合的收益率表示为
组合的平均收益率为
组合的方差为
根据前面已知条件，组合的方差可简化为
根据上式，在 的时候该portfolio的风险最小， 。
1 概率论基础第三版，李贤平著，复旦大学出版社