求高手帮忙做一题微积分的题目 要有具体过程

Question

求曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost),(0≤t≤)的长度L
这题我知道是用弧微分来做 但是做出来的是∫a√(1+t^2)dt 从0积分到2π.....
答案上是∫atdt 从0积分到2π
(0≤t≤2π)

Answer 1

x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost)
L = ∫√(dx² + dy²) dx = a t cost dt dy = a t sint dt
= ∫a t√( (cos²t + sin²t)) dt
= ∫a t dt (t = 0 →2π)
= 2π²a
你检查一下，是不是 dx dy 求错了
弧长积分公式：
1. 直角坐标 L = ∫√(dx² + dy²) = ∫√( 1+ y ' ² ) dx
2. 参数方程 L = ∫√(dx² + dy²) = ∫√( φ' ² + ψ ' ² ) dt -------上面你这个题用到
3. 极坐标： L = ∫√(dx² + dy²) = ∫√( r ² + r ' ² ) dθ

Answer 2

x'(t)=a(-sint+sint+tcost)=atcost, y'(t)=a(cost-cot+tsint)=atsint
S=∫[根号（a^2t^2cos^2t+a^2t^2in^2t)]dt =∫atdt =at^2/2|(从0积分到2π)=2π^2a ,ok